Elastische botsing

Eendimensionaal Newtoniaans

Beschouw twee deeltjes, aangeduid met de subscripts 1 en 2. Zij m1 en _m2 de massa's, u1 en u2 de snelheden vóór de botsing en v1 en v2 de snelheden na de botsing.

Gebruik makend van behoud van momentum om een formule te schrijven

Aangezien het om een elastische botsing gaat, is het totale momentum vóór de botsing hetzelfde als het totale momentum na de botsing. Gegeven dat momentum (p) wordt berekend als

p = m v {\a!p=mv}

We kunnen berekenen dat het momentum voor de botsing is:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

en het momentum na de botsing te zijn:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Als we de twee gelijkstellen, krijgen we onze eerste vergelijking:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Gebruik makend van behoud van energie om een tweede formule te schrijven

De tweede regel die we gebruiken is dat de totale kinetische energie gelijk blijft, wat betekent dat de initiële kinetische energie gelijk is aan de uiteindelijke kinetische energie.

De formule voor kinetische energie is:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}

Dus, gebruik makend van dezelfde variabelen als voorheen: De initiële kinetische energie is:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}

De uiteindelijke kinetische energie is:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Stel dat de twee gelijk zijn (aangezien de totale kinetische energie gelijk blijft):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{m_{2}u_{2}^{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Als we deze twee vergelijkingen samenvoegen

Deze vergelijkingen kunnen rechtstreeks worden opgelost om _vi te vinden als _ui bekend is of vice versa. Hier is een voorbeeldprobleem, dat kan worden opgelost met behoud van momentum of behoud van energie:

Bijvoorbeeld:

Bal 1: massa = 3 kg, v = 4 m/s

Bal 2: massa = 5 kg, v = -6 m/s

Na de botsing:

Bal 1: v = -8.5 m/s

Bal 2: v = onbekend ( We zullen het voorstellen met v )

Gebruik makend van behoud van momentum:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {Displaystyle ∗ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Na vermenigvuldiging, en dan 3 ∗ ( - 8,5 ) van beide kanten af te trekken, krijgen we:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Door de linkerkant op te tellen en dan door 5 te delen krijgen we:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v} , en als we de laatste deling doen krijgen we:   1.5 = v {\displaystyle {\ 1.5=v}}

We hadden dit probleem ook kunnen oplossen met behoud van energie:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}

Door beide zijden met 2 te vermenigvuldigen, en dan alle vereiste vermenigvuldigingen uit te voeren, krijgen we:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Door de getallen aan de linkerkant op te tellen, 216,75 van beide kanten af te trekken en door 5 te delen, krijgen we:

  2.25 = v 2 {\an8}2.25=v^{2}}

Als we de vierkantswortel nemen van beide zijden, krijgen we als antwoord v = ± 1,5 {\displaystyle v= 1,5} .

Helaas moeten we nog steeds het behoud van momentum gebruiken om uit te zoeken of v positief of negatief is.