Elastische botsing

Van een elastische botsing is sprake wanneer twee voorwerpen tegen elkaar botsen en terugstuiteren met weinig of geen vervorming. Bijvoorbeeld, twee rubberen ballen die tegen elkaar stuiteren zouden elastisch zijn. Twee auto's die tegen elkaar botsen zouden inelastisch zijn, omdat de auto's kreukelen en niet terugstuiteren. Bij een volkomen elastische botsing (het eenvoudigste geval) gaat geen kinetische energie verloren, en dus is de kinetische energie van de twee voorwerpen na de botsing gelijk aan hun totale kinetische energie vóór de botsing. Elastische botsingen komen alleen voor als er geen netto omzetting is van kinetische energie in andere vormen (warmte, geluid). De andere regel die je moet onthouden als je met elastische botsingen werkt, is dat het momentum behouden blijft.

Een voorbeeld van een Elastische botsing van ongelijke massa's
Een voorbeeld van een Elastische botsing van ongelijke massa's

Eendimensionaal Newtoniaans

Beschouw twee deeltjes, aangeduid met de subscripts 1 en 2. Zij m1 en m2 de massa's, u1 en u2 de snelheden vóór de botsing en v1 en v2 de snelheden na de botsing.

Gebruik makend van behoud van momentum om een formule te schrijven

Aangezien het om een elastische botsing gaat, is het totale momentum vóór de botsing hetzelfde als het totale momentum na de botsing. Gegeven dat momentum (p) wordt berekend als

p = m v {\a!p=mv} {\displaystyle \,\!p=mv}

We kunnen berekenen dat het momentum voor de botsing is:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {{1}u_{1}+m_{2}u_{2}} {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

en het momentum na de botsing te zijn:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Als we de twee gelijkstellen, krijgen we onze eerste vergelijking:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Gebruik makend van behoud van energie om een tweede formule te schrijven

De tweede regel die we gebruiken is dat de totale kinetische energie gelijk blijft, wat betekent dat de initiële kinetische energie gelijk is aan de uiteindelijke kinetische energie.

De formule voor kinetische energie is:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}} {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

Dus, gebruik makend van dezelfde variabelen als voorheen: De initiële kinetische energie is:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}} {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}

De uiteindelijke kinetische energie is:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}

Stel dat de twee gelijk zijn (aangezien de totale kinetische energie gelijk blijft):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{m_{2}u_{2}^{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}

Als we deze twee vergelijkingen samenvoegen

Deze vergelijkingen kunnen rechtstreeks worden opgelost om vi te vinden als ui bekend is of vice versa. Hier is een voorbeeldprobleem, dat kan worden opgelost met behoud van momentum of behoud van energie:

Bijvoorbeeld:

Bal 1: massa = 3 kg, v = 4 m/s

Bal 2: massa = 5 kg, v = -6 m/s

Na de botsing:

Bal 1: v = -8.5 m/s

Bal 2: v = onbekend ( We zullen het voorstellen met v )

Gebruik makend van behoud van momentum:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {Displaystyle ∗ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}

Na vermenigvuldiging, en dan 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8.5)}van beide kanten af te trekken, krijgen we:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v}

Door de linkerkant op te tellen en dan door 5 te delen {\displaystyle 5}krijgen we:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v}{\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v} , en als we de laatste deling doen krijgen we:   1.5 = v {\displaystyle {\ 1.5=v}} {\displaystyle \ 1.5=v}

We hadden dit probleem ook kunnen oplossen met behoud van energie:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}} {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}} {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}

Door beide zijden met 2 te vermenigvuldigen{\displaystyle 2}, en dan alle vereiste vermenigvuldigingen uit te voeren, krijgen we:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}} {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}}

Door de getallen aan de linkerkant op te tellen, 216,75 {\displaystyle 216.75}van beide kanten af te trekken en door 5 te delen, {\displaystyle 5}krijgen we:

  2.25 = v 2 {\an8}2.25=v^{2}} {\displaystyle \ 2.25=v^{2}}

Als we de vierkantswortel nemen van beide zijden, krijgen we als antwoord v = ± 1,5 {\displaystyle v= 1,5} {\displaystyle v=\pm 1.5}.

Helaas moeten we nog steeds het behoud van momentum gebruiken om uit te zoeken of v positief of negatief is. {\displaystyle v}


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3