Theorema egregium

Het Egregium Theorema van Gauss (Latijn voor "Opmerkelijke Stelling") is een belangrijk resultaat van de differentiaalmeetkunde, bewezen door Carl Friedrich Gauss. De stelling gaat over de kromming van oppervlakken. De stelling stelt dat de kromming kan worden bepaald door alleen hoeken, afstanden en hun snelheid op een oppervlak te meten. Er hoeft niet te worden gesproken over de bijzondere wijze waarop het oppervlak is ingebed in de omringende driedimensionale Euclidische ruimte. Met andere woorden, de Gaussische kromming van een oppervlak verandert niet als men het oppervlak buigt zonder het uit te rekken.

Gauss presenteerde de stelling op deze manier (vertaald uit het Latijn):

Daarom leidt de formule van het voorgaande artikel vanzelf tot de opmerkelijke Stelling. Indien een gekromd oppervlak wordt ontwikkeld op welk ander oppervlak dan ook, blijft de krommingsmaat in elk punt onveranderd.

De stelling is "opmerkelijk" omdat de uitgangsdefinitie van Gaussische kromming direct gebruik maakt van de positie van het oppervlak in de ruimte. Het is dus zeer verrassend dat het resultaat niet afhangt van de inbedding ervan, ondanks alle buig- en verdraaiingsvervormingen die men ondergaat.

Een gevolg van het Theorema Egregium is dat de aarde niet zonder vervorming op een kaart kan worden weergegeven. De Mercator projectie, hier afgebeeld, behoudt de hoeken maar verandert de oppervlakte. Antarctica wordt bijvoorbeeld veel groter weergegeven dan het in werkelijkheid is.Zoom
Een gevolg van het Theorema Egregium is dat de aarde niet zonder vervorming op een kaart kan worden weergegeven. De Mercator projectie, hier afgebeeld, behoudt de hoeken maar verandert de oppervlakte. Antarctica wordt bijvoorbeeld veel groter weergegeven dan het in werkelijkheid is.

Vragen en antwoorden

V: Wat is Gauss' Theorema Egregium?


A: Het Theorema Egregium van Gauss is een belangrijk resultaat van de differentiaalmeetkunde over de kromming van oppervlakken, bewezen door Carl Friedrich Gauss.

V: Hoe kan de kromming volgens Gauss' Theorema Egregium bepaald worden?


A: Volgens Gauss' Theorema Egregium kan de kromming alleen bepaald worden door hoeken, afstanden en hun koersen op een oppervlak te meten.

V: Is het nodig om te praten over de specifieke manier waarop het oppervlak is ingebed in de omringende driedimensionale Euclidische ruimte om de kromming te bepalen?


A: Nee, het is niet nodig om te praten over de manier waarop het oppervlak is ingebed in de omringende driedimensionale Euclidische ruimte om de kromming volgens Gauss' Theorema Egregium te bepalen.

V: Verandert de Gaussische kromming van een oppervlak als men het oppervlak buigt zonder het uit te rekken?


A: Nee, de Gaussische kromming van een oppervlak verandert niet als men het oppervlak buigt zonder het uit te rekken volgens het Theorema Egregium van Gauss.

V: Wie heeft de stelling op deze manier gepresenteerd?


Antwoord: Gauss heeft de stelling op deze manier gepresenteerd.

V: Waarom is de stelling opmerkelijk?


A: De stelling is "opmerkelijk" omdat de begindefinitie van Gaussische kromming direct gebruik maakt van de positie van het oppervlak in de ruimte. Het is dus heel verrassend dat het resultaat niet afhankelijk is van de inbedding, ondanks alle buigende en verdraaiende vervormingen die ondergaan worden.

V: Op welke manier heeft Gauss de stelling gepresenteerd?


A: Gauss presenteerde de stelling op zo'n manier dat als een gekromd oppervlak op een ander oppervlak wordt ontwikkeld, de maat van de kromming in elk punt onveranderd blijft.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3