Topologische ruimte
Een topologische ruimte is een ruimte die wordt bestudeerd in de topologie, de wiskunde van de structuur van vormen. Ruwweg is het een verzameling van dingen (punten genoemd) samen met een manier om te weten welke dingen dicht bij elkaar liggen.
Om precies te zijn, een topologische ruimte heeft een bepaald soort set, de zogenaamde open sets. Open sets zijn belangrijk omdat ze het mogelijk maken om te praten over punten in de buurt van een ander punt, dat een buurt van het punt wordt genoemd. Een wijk van een punt is gewoon een open verzameling die dat punt bevat. Als je het concept van open verzamelingen niet had, kun je geen wijken op een goede manier definiëren. Als men probeert een wijk van een punt te definiëren als een verzameling die dat punt bevat, kan het gewoon dat punt en dat punt alleen omvatten, geen punten in de buurt van dat punt, of punten ver weg. We hebben ook het concept van gesloten verzamelingen, die een aanvulling zijn op open verzamelingen. Dat wil zeggen dat alle punten die niet tot een bepaalde open verzameling behoren, een gesloten verzameling vormen.
Open sets moeten bepaalde regels volgen, zodat ze overeenkomen met onze ideeën van nabijheid. De vereniging van een willekeurig aantal open sets moet open zijn, en de vereniging van een eindig aantal gesloten sets moet gesloten zijn. (De tweede regel werkt alleen voor een eindig aantal gesloten sets. Dat komt omdat in veel gevallen een set met een enkel punt gesloten is. Elke set bestaat uit punten. Als de tweede regel van toepassing is op een oneindig aantal gesloten verzamelingen, dan zou elke verzameling gesloten zijn). In het speciale geval is de verzameling die elk punt bevat zowel open als gesloten. De verzameling die geen punten bevat is ook zowel open als gesloten.
Een set van punten kan veel verschillende definities hebben van wat een open set is. Men kan alleen bepaalde sets als open beschouwen, of meer sets als open. Men kan zelfs elke set als open beschouwen. Dezelfde verzameling met verschillende definities van open verzamelingen vormen verschillende topologische ruimtes.
Vragen en antwoorden
V: Wat is een topologische ruimte?
A: Een topologische ruimte is een verzameling punten en een manier om te weten welke dingen dicht bij elkaar liggen. Het wordt bestudeerd in de wiskunde van de structuur van vormen.
V: Wat zijn open sets?
A: Open verzamelingen zijn belangrijk omdat zij het mogelijk maken te spreken over punten in de buurt van een ander punt, een buurt van het punt genoemd. Zij worden gedefinieerd als bepaalde soorten verzamelingen waarmee op een goede manier buurten kunnen worden gedefinieerd.
V: Waaraan moeten open verzamelingen voldoen?
A: Open verzamelingen moeten aan bepaalde regels voldoen, zodat zij overeenkomen met onze ideeën over nabijheid. De unie van een willekeurig aantal open verzamelingen moet open zijn, en de unie van een eindig aantal gesloten verzamelingen moet gesloten zijn.
V: Wat is het speciale geval voor open en gesloten verzamelingen?
A: Het speciale geval voor zowel open als gesloten verzamelingen is dat de verzameling die elk punt bevat zowel open als gesloten is, en dat de verzameling die geen punten bevat zowel open als gesloten is.
V: Welke invloed hebben verschillende definities op topologische ruimten?
A: Verschillende definities van wat een open verzameling is, kunnen van invloed zijn op topologische ruimten doordat alleen bepaalde verzamelingen als open worden beschouwd of meer dan gewoonlijk, of zelfs doordat elke verzameling als open wordt beschouwd.
V: Kunnen oneindig veel gesloten verzamelingen een willekeurige verzameling vormen?
A: Nee, als oneindig veel gesloten verzamelingen waren toegestaan, dan zou elke verzameling als gesloten worden beschouwd, aangezien elke verzameling alleen uit punten bestaat.
