Verzameling (wiskunde)

Een set is een idee uit de wiskunde. Een set heeft leden (ook wel elementen genoemd). Een set wordt bepaald door zijn leden. Het is de enige verzameling die dezelfde leden heeft (als verzameling X en verzameling Y dezelfde leden hebben, dan is X = Y). Een verzameling kan niet meer dan één keer hetzelfde lid hebben. Lidmaatschap is het enige dat iets betekent. Er is bijvoorbeeld geen volgorde of ander onderscheid tussen de leden. Een bijzondere verzameling is de "lege verzameling" (ook wel de nulde verzameling genoemd). De lege verzameling heeft geen leden. Alles kan lid zijn van een verzameling. Een verzameling kan lid zijn van een verzameling. (Als een verzameling lid is van zichzelf, pas dan op voor de paradox van Russell).

Georg Cantor, in 1894. Cantor was de eerste wiskundige die over verzamelingen sprak
Georg Cantor, in 1894. Cantor was de eerste wiskundige die over verzamelingen sprak

Cantors oorspronkelijke definitie van een verzameling: Onder een aggregaat (...) verstaan we elke verzameling tot een geheel (...) M van welomlijnde en afzonderlijke objecten m van onze intuïtie of onze gedachte. Deze objecten worden de elementen van M genoemd.
Cantors oorspronkelijke definitie van een verzameling: Onder een aggregaat (...) verstaan we elke verzameling tot een geheel (...) M van welomlijnde en afzonderlijke objecten m van onze intuïtie of onze gedachte. Deze objecten worden de elementen van M genoemd.

Notatie

De meeste wiskundigen gebruiken cursieve (meestal Romeinse) hoofdletters om over verzamelingen te schrijven. De dingen die als elementen van verzamelingen worden beschouwd, worden gewoonlijk met kleine Romeinse letters geschreven.

Een manier om een verzameling weer te geven is door een lijst van haar leden, gescheiden door komma's, tussen accolades. Bijvoorbeeld,

  • X={1,2,3} is een verzameling met de leden 1, 2, en 3.

Een andere manier is door een verklaring van wat waar is van de leden van de verzameling, zoals deze:

  • {x | x is een natuurlijk getal & x < 4}.

In gesproken Engels, is dat: "de verzameling van alle x zo dat x een natuurlijk getal is en x is minder dan vier".

De lege set wordt op een speciale manier geschreven:

  • {\displaystyle \emptyset } {\displaystyle \emptyset }

Als object a lid is van verzameling A wordt het geschreven als:

  • a A.

In gesproken Engels, is dat: "a is een lid van A"

Wat te doen met sets

Element van

Verschillende dingen kunnen in een zak gestopt worden. Later zou een geldige vraag zijn of een bepaald ding in de zak zit. Wiskundigen noemen dit element van. Iets is een element van een verzameling, als dat ding in de betreffende zak te vinden is. Het symbool dat hiervoor gebruikt wordt is {\an5}. {\displaystyle \in }

a A {\a6} } {\displaystyle a\in \mathbf {A} }

betekent dat een {{A}} in de zak A {{A}} azit. } {\displaystyle \mathbf {A} }

Lege set

Net als een zak kan een verzameling ook leeg zijn. De lege verzameling is als een lege zak: er zitten geen dingen in.

Vergelijken van sets

Twee sets kunnen vergeleken worden. Dit is alsof je naar twee verschillende tassen kijkt. Als ze dezelfde dingen bevatten, zijn ze gelijk.

Kardinaliteit van een verzameling

Wanneer wiskundigen het over een verzameling hebben, willen ze soms weten hoe groot een verzameling is. Dat doen ze door te tellen hoeveel elementen er in de set zitten (hoeveel items er in de zak zitten). De kardinaliteit kan een eenvoudig getal zijn. De lege verzameling heeft een kardinaliteit van 0. De verzameling { a p p l e , o r a n g e } {appels,sinaasappels}}{\displaystyle \{apple,orange\}} heeft een kardinaliteit van 2.

Twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als we hun elementen kunnen paren - als we twee elementen, één uit elke verzameling, kunnen samenvoegen. De verzameling {A p p l e , o r a n g e } {\displaystyle \{apple,orange\}}en de verzameling {s u n , m o o n } {\displaystyle \{sun,moon\}}hebben dezelfde kardinaliteit. We kunnen appel aan zon koppelen, en sinaasappel aan maan. De volgorde doet er niet toe. Het is mogelijk om de elementen te paren, en er wordt niets weggelaten. Maar de verzameling {\an5} {\an5} {\displaystyle \{dog,cat,bird\}}en de verzameling {5 , 6} {\displaystyle \{5,6\}}hebben een verschillende kardinaliteit. Als we ze aan elkaar proberen te koppelen, laten we altijd een dier weg.

Oneindige kardinaliteit

Soms is kardinaliteit geen getal. Soms heeft een verzameling oneindige kardinaliteit. De verzameling gehele getallen is een verzameling met oneindige kardinaliteit. Sommige verzamelingen met oneindige kardinaliteit zijn groter (hebben een grotere kardinaliteit) dan andere. Er zijn bijvoorbeeld meer reële getallen dan natuurlijke getallen. Dat betekent dat we de verzameling gehele getallen en de verzameling reële getallen niet kunnen samenvoegen, zelfs al zouden we eeuwig doorwerken. Als een verzameling dezelfde kardinaliteit heeft als de verzameling gehele getallen, heet ze een aftelbare verzameling. Maar als een verzameling dezelfde kardinaliteit heeft als de reële getallen, heet ze een niet-telbare verzameling.

Subsets

Als je kijkt naar de verzameling {a,b} en de verzameling {a,b,c,d}, dan zie je dat alle elementen in de eerste verzameling ook in de tweede verzameling zitten.
We zeggen: {a,b} is een deelverzameling van {a,b,c,d}Als
formule ziet het er zo uit:
{ a , b } { a , b , c , d } {{a,b}}{a,b,c,d}} {\displaystyle \{a,b\}\subseteq \{a,b,c,d\}}

Als alle elementen van A ook elementen van B zijn, noemen we A een deelverzameling van B:
A B {Afdeelset van B}{\displaystyle A\subseteq B} Meestal wordt
er gelezen "A is vervat in B"

Voorbeeld:
Elke Chevrolet is een Amerikaanse auto. Dus de verzameling van alle Chevrolets is ingesloten in de verzameling van alle Amerikaanse auto's.

Set bewerkingen

Er zijn verschillende manieren om sets te combineren.

Kruispunten

De intersectie A ∩ B {\displaystyle A\cap B} {\displaystyle A\cap B}van twee verzamelingen A en B is een verzameling die alle elementen bevat,
die zowel in verzameling A als in verzameling B zitten.
Als A de verzameling is van alle goedkope auto's, en B de verzameling van alle Amerikaanse auto's,
dan is A ∩ B {\displaystyle A\cap B}{\displaystyle A\cap B} de verzameling van alle goedkope Amerikaanse auto's.

Vakbonden

De vereniging A B ∪ B {\displaystyle A\cup B}van twee verzamelingen A en B is een verzameling die alle elementen bevat,
die in verzameling A of in verzameling B
zitten.

Deze "of" is de inclusieve disjunctie, dus de unie bevat ook de elementen, die in verzameling A en in verzameling B zitten.

Tussen haakjes: Dit betekent, dat de intersectie een deelverzameling is van de unie:

( A ∩ B ) ( A B ) {\displaystyle (A ∩ B)\subseteq (A ∩ B)} {\displaystyle (A\cap B)\subseteq (A\cup B)}

Als A de verzameling is van alle goedkope auto's, en B de verzameling van alle Amerikaanse auto's,
dan is A B {Afbeelding A}{\displaystyle A\cup B} de verzameling van alle auto's, zonder alle dure auto's die niet uit Amerika komen.

Aanvullingen

Complement kan twee verschillende dingen betekenen:

  • Het complement van A is het universum U zonder alle elementen van A:

A C = U A {\an5}}=U A {\an5}} {\displaystyle A^{\rm {C}}=U\setminus A}
Het universum U is de verzameling van alle dingen waarover je spreekt.
Als U de verzameling is van alle auto's, en A is de verzameling van alle goedkope auto's,
dan is AC de verzameling van alle dure auto's.

  • Het relatieve complement van A in B is de verzameling B zonder alle elementen van A:

B A {Displaystyle B} {\displaystyle B\setminus A}
Het wordt vaak het setverschil
genoemd.
Als A de verzameling is van alle goedkope auto's, en B is de verzameling van alle Amerikaanse auto's,
dan is B A {\displaystyle B\setminus A}{\displaystyle B\setminus A} de verzameling van alle dure Amerikaanse auto's.

Als je de sets verwisselt in de set verschil, is het resultaat anders:
In het voorbeeld met de auto's, is het verschil A B {\displaystyle A\setminus B}{\displaystyle A\setminus B} de set van alle goedkope auto's, die niet in Amerika gemaakt zijn.



















Speciale sets

Sommige verzamelingen zijn zeer belangrijk voor de wiskunde. Ze worden zeer vaak gebruikt. Een daarvan is de lege verzameling. Veel van deze verzamelingen worden geschreven met een schoolbord vet lettertype, zoals hieronder. Speciale verzamelingen zijn onder andere:

  • P {\displaystyle \mathbb {P}} } {\displaystyle \mathbb {P} }, waarmee de verzameling van alle priemgetallen wordt aangeduid.
  • N {\displaystyle \mathbb {N} } {\displaystyle \mathbb {N} }die de verzameling van alle natuurlijke getallen aanduidt. Dat wil zeggen dat N {\displaystyle \mathbb {N} } {\displaystyle \mathbb {N} }= {1, 2, 3, ...}, of soms N {\mathbb {N}} } {\displaystyle \mathbb {N} }= {0, 1, 2, 3, ...}.
  • Z {\displaystyle \mathbb {Z}} } {\displaystyle \mathbb {Z} }, waarmee de verzameling van alle gehele getallen (positief, negatief of nul) wordt aangeduid. Dus Z {Displaystyle \mathbb {Z}} } {\displaystyle \mathbb {Z} }= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
  • Q {\displaystyle \mathbb {Q}} } {\displaystyle \mathbb {Q} }, waarmee de verzameling van alle rationale getallen wordt aangeduid (d.w.z. de verzameling van alle eigenlijke en oneigenlijke breuken). Dus, Q = { a b : a , b Z , b ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} = links{{begin{matrix}{\frac {a}{b}}eind{matrix}}:a,b in \mathbb {Z} en b zijn gelijk aan 0.} {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}:a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}}, d.w.z. alle breuken a b {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{b}}}}}}} {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}}waarbij a en b in de verzameling van alle gehele getallen liggen en b niet gelijk is aan 0. Bijvoorbeeld, 1 4 Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{4}}}}}}}}}}} in \mathbb {Q}} {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q} }en 11 6 Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {11}{6}}}\end{matrix}} in \mathbb {Q}} } {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q} }. Alle gehele getallen behoren tot deze verzameling omdat elk geheel getal a kan worden uitgedrukt als de breuk a 1 {\displaystyle {{begin{matrix}{\frac {a}{1}}}\end{matrix}} {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{1}}\end{matrix}}}.
  • R {\displaystyle \mathbb {R} } {\displaystyle \mathbb {R} }, waarmee de verzameling van alle reële getallen wordt aangeduid. Deze verzameling omvat alle rationale getallen, samen met alle irrationale getallen (dat zijn getallen die niet in breuken kunnen worden herschreven, zoals π , {{displaystyle \pi,} {\displaystyle \pi ,}e , {{displaystyle e,} {\displaystyle e,}en √2).
  • C {\displaystyle \mathbb {C}} } {\displaystyle \mathbb {C} }, waarmee de verzameling van alle complexe getallen wordt aangeduid.

Elk van deze verzamelingen van getallen heeft een oneindig aantal elementen, en P N Z Q R C {\displaystyle \mathbb {P} deelverzameling ⊂ N deelverzameling ⊂mathbb {Z} deelverzameling tabel {Q} Onderset R } {\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }. De priemgetallen worden buiten de getaltheorie en aanverwante gebieden minder vaak gebruikt dan de andere.

Paradoxen over verzamelingen

De wiskundige BertrandRussell ontdekte dat er problemen zijn met deze theorie van verzamelingen. Hij verklaarde dit in een paradox die Russell's paradox wordt genoemd. Een eenvoudiger te begrijpen versie, die dichter bij het echte leven staat, wordt de Barberparadox genoemd:

De barbier paradox

Er is ergens een klein stadje. In dat stadje is een barbier. Alle mannen in de stad houden niet van baarden, dus ofwel scheren ze zichzelf, ofwel gaan ze naar de barbierszaak om zich te laten scheren door de barbier.

We kunnen dus een uitspraak doen over de barbier zelf: De barbier scheert alle mannen die zichzelf niet scheren. Hij scheert alleen die mannen (want de anderen scheren zichzelf en hebben geen barbier nodig om hen te scheren).

Dit roept natuurlijk de vraag op: Wat doet de barbier elke ochtend om er gladgeschoren uit te zien? Dit is de paradox.

  • Als de barbier zich niet scheert, zal hij de regel volgen en zich scheren (naar de barbier gaan om zich te laten scheren)
  • Als de barbier zich inderdaad scheert, scheert hij zich niet, volgens de hierboven gegeven regel.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3