Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer
De Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer (afgekort ZF) is een systeem van axioma's dat gebruikt wordt om verzamelingenleer te beschrijven. Wanneer het keuze-axioma aan ZF wordt toegevoegd, wordt het systeem ZFC genoemd. Het is het axioma dat tegenwoordig door de meeste wiskundigen in de verzamelingenleer wordt gebruikt.
Nadat in 1901 de paradox van Russell was gevonden, wilden wiskundigen een manier vinden om de verzamelingenleer te beschrijven die geen tegenstrijdigheden bevatte. Ernst Zermelo stelde in 1908 een theorie van de verzamelingenleer voor. In 1922 stelde Abraham Fraenkel een nieuwe versie voor op basis van Zermelo's werk.
Axioma's
Een axioma is een uitspraak die zonder meer wordt aanvaard, en die geen bewijs kent. ZF bevat acht axioma's.
- Het axioma van uitbreiding zegt dat twee verzamelingen gelijk zijn als en slechts als zij dezelfde elementen hebben. Bijvoorbeeld, de verzameling { 1 , 3 } {{1,3}}
en de verzameling {3 , 1 } {{3,1}}
gelijk. - Het funderingsaxioma zegt dat elke verzameling S {\displaystyle S}
(behalve de lege verzameling) een element bevat dat disjunct is (geen leden gemeen heeft) met S {\displaystyle S} . - Het axioma van specificatie zegt dat gegeven een verzameling S {\displaystyle S} en een predikaat F {{\displaystyle F}
(een functie die ofwel waar ofwel onwaar is), dat er een verzameling bestaat die precies die elementen van S {\displaystyle S} bevat waar F {\displaystyle F} waar is. Bijvoorbeeld, als S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} 
en F {\an5} is "dit is een even getal", dan zegt het axioma dat de verzameling {2 , 6 } {{2,6}} 
bestaat. - Het axioma van het paren zegt dat gegeven twee verzamelingen, er een verzameling is waarvan de leden precies de twee gegeven verzamelingen zijn. Dus, gegeven de twee verzamelingen { 0 , 3 } {0,3}}
en {2 , 5 } {{0,5}} en {2,5}} 
zegt dit axioma dat de verzameling {0 , 3 } , { 2 , 5 } } {{0,3}},{{2,5}}} 
bestaat. - Het axioma van vereniging zegt dat voor elke verzameling er een verzameling bestaat die enkel bestaat uit de elementen van de elementen van die verzameling. Bijvoorbeeld, gegeven de verzameling { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} zegt dit axioma dat de verzameling {0 , 3 , 2 , 5 } {{0,3,2,5}}
bestaat. - Het vervangingsaxioma zegt dat voor elke verzameling S {\displaystyle S} en een functie F {\displaystyle F} , dat de verzameling bestaande uit de resultaten van het aanroepen van F {\displaystyle F} op alle leden van S {\displaystyle S}} bestaat. Bijvoorbeeld, als S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S={1,2,3,5,6}} en F {\displaystyle F} is "tel tien op bij dit getal", dan zegt het axioma dat de verzameling { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {{11,12,13,15,16}}
bestaat. - Het axioma van oneindigheid zegt dat de verzameling van alle gehele getallen (zoals gedefinieerd door de Von Neumann constructie) bestaat. Dit is de verzameling { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
- Het axioma van de machtverzameling zegt dat de machtverzameling (de verzameling van alle deelverzamelingen) van een willekeurige verzameling bestaat. Bijvoorbeeld, de machtverzameling van { 2 , 5 } {{2,5}} is { { } , { 2 } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}
Axioma van keuze
Het axioma van de keuze zegt dat het mogelijk is om uit elk van de elementen van een verzameling één object te nemen en een nieuwe verzameling te maken. Bijvoorbeeld, gegeven de verzameling { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} zou het axioma van de keuze aantonen dat een verzameling als {3 , 5 } {{3,5}} 
bestaat. Dit axioma kan bewezen worden uit de andere axioma's voor eindige verzamelingen, maar niet voor oneindige verzamelingen.
