Functie (wiskunde)

In de wiskunde is een functie een wiskundig object dat een uitgang produceert, wanneer het een input krijgt - het kan een getal zijn, een vector, of alles wat binnen een verzameling van dingen kan bestaan.

Een functie is dus als een machine, die waarden van x neemt en een uitgang y retourneert. De set van alle waarden die x kan hebben wordt het domein genoemd. De verzameling die elke waarde die y kan hebben heet het codomain.

Als dit gebeurt, zeggen we dat y een functie is van x, en we schrijven y =f(x). f is de naam van de functie en men schrijft f : X → Y {displaystyle f:Xto Y} (functie van X tot Y) om de drie delen van de functie weer te geven: het domein (x), de codomain (y) en het koppelingsproces (de pijl).

Een voorbeeld van een functie is f(x)=x+1 Men geeft een natuurlijk getal x x(0,1,2,3...) als invoer en krijgt een natuurlijk getal y (y). y...dat is x {\\playstyle x} x+1 (1,2,3,4...) Het idee van een functie is opgezet om allerlei mogelijkheden te bestrijken. De functie hoeft geen vergelijking te zijn. Het hoofdidee is dat in- en uitgangen op de een of andere manier aan elkaar gekoppeld zijn, zelfs als het proces erg ingewikkeld is.

Metaforen

Tabellen

De in- en uitgangen kunnen in een tabel zoals op de foto worden gezet; dit is eenvoudig als er niet te veel gegevens zijn.

Grafieken

Op de foto is te zien dat zowel 2 als 3 gekoppeld zijn aan c; dit is niet toegestaan in de andere richting, 2 kon geen uitgang c en d hebben, elke ingang kan maar één uitgang hebben. Alle f ( x ) {\playstyle f(x)} f(x)(c en d op de foto) worden meestal de afbeeldingsset van f genoemd (displaystyle f) fen de afbeeldingsset kan al dan niet de gehele codomain zijn. Men kan zeggen dat de subset A van de codomain met de afbeeldingsset f(A) is. Als de in- en uitgangen een volgorde hebben is het eenvoudig om ze in een grafiek te plotten:Op die manier komt het beeld op het beeld van de set A. Dit zal ervoor zorgen dat er zowel een 2 als een 3 gekoppeld zijn aan is niet toegestaan in de andere richting,zelfs kan men tussen codomain of niet maken. De conclusie kan worden getrokken dat deelverzameling A van de codomain de beeldset F(A) is.

Geschiedenis

In de jaren 1690 gebruikten GottfriedLeibniz en Johann Bernoulli het woord functie in letters tussen hen in, zodat het moderne concept tegelijk met de calculus begon.

In 1748 gaf Leonhard Euler: "Een functie van een variabele grootheid is een analytische uitdrukking die op enigerlei wijze is samengesteld uit de variabele grootheid en getallen of constante grootheden" en vervolgens in 1755: "Als sommige grootheden zo afhankelijk zijn van andere grootheden dat als de laatste worden veranderd, de eerstgenoemde grootheden een verandering ondergaan, dan worden de eerstgenoemde grootheden functies van de laatstgenoemde genoemd. Deze definitie is vrij algemeen van toepassing en omvat alle manieren waarop de ene hoeveelheid door de andere kan worden bepaald. Als x dus een variabele grootheid is, dan worden alle grootheden die op enigerlei wijze van x afhangen, of erdoor bepaald worden, functies van x genoemd.

Meestal wordt Dirichlet gecrediteerd met de versie die tot de tweede helft van de 20e eeuw in scholen werd gebruikt: "y is een functie van een variabele x, gedefinieerd op het interval a < x < b, als aan elke waarde van de variabele x in dit interval een bepaalde waarde van de variabele y correspondeert.

In 1939 veralgemeende de Bourbaki de definitie van Dirichlet en gaf een vaste theoretische versie van de definitie als correspondentie tussen in- en uitgangen; deze werd gebruikt in scholen vanaf ongeveer 1960.

Uiteindelijk gaf de Bourbaki in 1970 de moderne definitie als een drievoudige f = ( X , Y , F ) {\playstyle f=(X,Y,F)} f=(X,Y,F), met F X × Y , ( x , f ( x ) ) F{\\\\\times Y,(x,f(x))\in F}F\subset X\times Y,(x,f(x))\in F (d.w.z. f : X → Y {displaystyle f:Xto Y} en F = { ( x , f ( x ) ) | x X , f ( x ) Y } F = Displaystyle F = X = F = Y = X = F = F = Y. F=\{(x,f(x))|x\in X,f(x)\in Y\}).

Soorten functies

  • Elementaire functies - De functies die gewoonlijk op school worden bestudeerd: fracties, vierkantswortels, de sinus, cosinus en raaklijnen en enkele andere functies.
  • Niet-elementaire functies - De meeste gebruiken geen bewerkingen die we niet op school leren (zoals + of -, of bevoegdheden). Veel integralen zijn niet-elementair.
  • Omgekeerde functies - Functies die een andere functie ongedaan maken. Bijvoorbeeld: als F(x) het omgekeerde is van f(x)=y, dan is F(y)=x. Niet alle functies hebben inversies.
  • Speciale functies: Functies die namen hebben. Bijvoorbeeld: sinus, cosinus en tangens. Functies zoals f(x)=3x (driemaal x) worden geen speciale functies genoemd. Ze kunnen elementair, niet-elementair of omgekeerd zijn.

Autoriteitcontrole Edit this at Wikidata

  • GND: 4071510-3
  • LCCN: sh85052327
  • NDL: 00564960



AlegsaOnline.com - 2020 - Licencia CC3