Verschilquotiënt
Het verschilquotiënt is een formule waarmee de gemiddelde veranderingssnelheid van een functie tussen twee punten wordt bepaald. In calculus is het verschilquotiënt de formule voor het vinden van de afgeleide, het verschilquotiënt tussen twee punten die zo dicht mogelijk bij elkaar liggen, dat de veranderingssnelheid van een functie in één punt aangeeft. Het verschilquotiënt werd geformuleerd door Isaac Newton.
Het verschil-quotiënt gedefinieerd
Een eenvoudige definitie
Het verschilquotiënt kan worden omschreven als de formule voor het vinden van de helling van een lijn die een kromme op slechts twee punten raakt (deze lijn wordt de secanslijn genoemd). Als we de helling van een perfect rechte lijn proberen te vinden, dan gebruiken we de hellingformule die eenvoudig de verandering in "y" gedeeld door de verandering in "x" is. Dit is zeer nauwkeurig, maar alleen voor rechte lijnen. Met het verschilquotiënt daarentegen kun je de helling vinden van elke kromme of lijn in elk willekeurig punt. Het verschilquotiënt, evenals de hellingformule, is slechts de verandering in "y" gedeeld door de verandering in "x". Het enige verschil is dat in de hellingsformule y als y-as wordt gebruikt, maar in het verschilquotiënt wordt de verandering in de y-as beschreven door f(x). (Voor een gedetailleerde beschrijving, zie de volgende paragraaf.)
Een wiskundige definitie
Het verschilquotiënt is de helling van de secanslijn tussen twee punten.
DE SLOPE FORMULA i f y = f ( x ) d e n m = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = f ( x - f ( x 1 ) x 2 - x 1 en x 2 = x 1 + Δ x t h e n m = f ( x + Δ x ) - f ( x ) ( x + Δ x ) - x 1 = f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x {als y=f(x)\kwadraat dan m={frac {\delta y}{\delta x}}={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}} en x{2}=x_{1}+\Delta x}}}==={frac {f(x+\Delta x)-{x_{1}}}}.f(x)}{(x+Delta x)-x_{1}}}={{frac {f(x+Delta x)-f(x)}{{Delta x}}}
Het verschilquotiënt kan worden gebruikt om de helling van een kromme te vinden, evenals de helling van een rechte lijn. Nadat we het verschilquotiënt van een functie hebben gevonden, hebben we een nieuwe functie, de afgeleide. Om de helling van de kromme of lijn te vinden, voeren we de waarde van "x" in en krijgen we de helling. Het vinden van de afgeleide via het verschil-quotiënt heet differentiëren.
Toepassingen van het verschilquotiënt (en de afgeleide)
De afgeleide heeft veel reële toepassingen. Eén toepassing van de afgeleide staat hieronder.
Natuurkunde
In de natuurkunde wordt de momentane snelheid van een voorwerp (de snelheid op een bepaald moment in de tijd) gedefinieerd als de afgeleide van de positie van het voorwerp als functie van de tijd. Bijvoorbeeld, als de positie van een object wordt gegeven door x(t)=-16t2 +16t+32, dan is de snelheid van het object v(t)=-32t+16. Om de momentane versnelling te vinden, neem je de afgeleide van de momentane snelheidsfunctie. Bijvoorbeeld, in de bovenstaande functie is de versnellingsfunctie a(t) = -32.
