Wiskundige analyse

Geschiedenis

In de jaren 1670 en 1680 bedachten Sir Isaac Newton in Engeland en Gottfried Leibniz in Duitsland tegelijkertijd de calculus, terwijl ze apart van elkaar werkten. Newton wilde een nieuwe manier hebben om te voorspellen waar planeten aan de hemel te zien waren, want astronomie was altijd al een populaire en nuttige vorm van wetenschap geweest, en meer weten over de bewegingen van de objecten aan de nachtelijke hemel was belangrijk voor de navigatie van schepen. Leibniz wilde de ruimte (oppervlakte) onder een kromme (een lijn die niet recht is) meten. Vele jaren later maakten de twee mannen ruzie over wie het eerst ontdekte. Wetenschappers uit Engeland steunden Newton, maar wetenschappers uit de rest van Europa steunden Leibniz. De meeste wiskundigen zijn het er vandaag over eens dat beide mannen evenveel eer toekomt. Sommige delen van de moderne calculus komen van Newton, zoals het gebruik ervan in de natuurkunde. Andere delen komen van Leibniz, zoals de symbolen die gebruikt worden om het te schrijven.

Zij waren niet de eersten die wiskunde gebruikten om de fysieke wereld te beschrijven - Aristoteles en Pythagoras kwamen eerder, evenals Galileo Galilei, die zei dat wiskunde de taal van de wetenschap was. Maar zowel Newton als Leibniz waren de eersten die een systeem ontwierpen dat beschrijft hoe dingen in de loop van de tijd veranderen en dat kan voorspellen hoe ze in de toekomst zullen veranderen.

De naam "calculus" was het Latijnse woord voor een kleine steen die de oude Romeinen gebruikten bij het tellen en gokken. Het Engelse woord "calculate" komt van hetzelfde Latijnse woord.

Differentiaalrekening

Differentiaalrekening wordt gebruikt om de veranderingssnelheid van een variabele ten opzichte van een andere variabele te bepalen.

In de echte wereld kan het worden gebruikt om de snelheid van een bewegend voorwerp te bepalen, of om te begrijpen hoe elektriciteit en magnetisme werken. Het is zeer belangrijk voor het begrijpen van natuurkunde en vele andere gebieden van de wetenschap.

Differentiaalrekening is ook nuttig voor het maken van grafieken. Het kan worden gebruikt om de helling van een kromme en de hoogste en laagste punten (deze worden het maximum en minimum genoemd) van een kromme te vinden.

Variabelen kunnen van waarde veranderen. Dit is anders dan bij getallen, want getallen zijn altijd hetzelfde. Bijvoorbeeld, het getal 1 is altijd gelijk aan 1 en het getal 200 is altijd gelijk aan 200. Je schrijft variabelen vaak als letters, zoals de letter x. "X" kan op het ene moment gelijk zijn aan 1 en op een ander moment aan 200.

Enkele voorbeelden van variabelen zijn afstand en tijd, omdat die kunnen veranderen. De snelheid van een voorwerp is de afstand die het in een bepaalde tijd aflegt. Dus als een stad 80 kilometer ver weg is en een persoon in een auto er in een uur is, heeft hij gemiddeld 80 kilometer per uur afgelegd. Maar dit is slechts een gemiddelde - misschien heeft hij op sommige momenten sneller gereisd (op een snelweg) en op andere langzamer (bij een stoplicht of in een straatje waar mensen wonen). Stelt u zich eens voor dat een bestuurder de snelheid van een auto probeert te bepalen met alleen de kilometerteller (afstandsmeter) en de klok, zonder snelheidsmeter!

Totdat de calculus werd uitgevonden, was de enige manier om dit uit te rekenen de tijd in steeds kleinere stukjes te knippen, zodat de gemiddelde snelheid over de kleinere tijd steeds dichter bij de werkelijke snelheid op een bepaald tijdstip zou komen te liggen. Dit was een zeer lang en moeilijk proces en moest telkens worden gedaan als men iets wilde uitrekenen.

Een soortgelijk probleem is het vinden van de helling (hoe steil die is) op een willekeurig punt van een kromme. De helling van een rechte lijn is eenvoudig te berekenen - het is eenvoudig hoeveel de lijn omhoog gaat (y of verticaal) gedeeld door hoeveel de lijn overdwars gaat (x of horizontaal). Bij een kromme echter is de helling variabel (heeft verschillende waarden op verschillende punten) omdat de lijn kromt. Maar als de kromme in heel, heel kleine stukjes zou worden gesneden, zou de kromme in het punt er bijna uitzien als een heel korte rechte lijn. Om de helling te berekenen kan men dus een rechte lijn door het punt trekken met dezelfde helling als de kromme in dat punt. Als dit precies goed gedaan is, zal de rechte lijn dezelfde helling hebben als de kromme, en wordt een raaklijn genoemd. Maar er is geen manier om te weten (zonder zeer ingewikkelde wiskunde) of de raaklijn precies goed is, en onze ogen zijn niet nauwkeurig genoeg om zeker te weten of hij precies is of alleen maar heel dichtbij.

Newton en Leibniz vonden een manier om de helling (of de snelheid in het voorbeeld van de afstand) precies uit te rekenen, met behulp van eenvoudige en logische regels. Zij verdeelden de kromme in een oneindig aantal zeer kleine stukjes. Zij kozen dan punten aan weerszijden van het bereik waarin zij geïnteresseerd waren en werkten raaklijnen uit in elk van die punten. Naarmate de punten dichter bij elkaar kwamen in de richting van het punt waarin zij geïnteresseerd waren, naderde de helling een bepaalde waarde naarmate de raaklijnen de werkelijke helling van de kromme naderden. De specifieke waarde die werd benaderd was de werkelijke helling.

Stel we hebben een functie y = f ( x ) {Displaystyle y=f(x)} . f is kort voor functie, dus deze vergelijking betekent "y is een functie van x". Dit zegt ons dat hoe hoog y op de verticale as staat, afhangt van wat x (de horizontale as) op dat moment is. Bijvoorbeeld, met de vergelijking y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} weten we dat als x {\displaystyle x} 1 is, y {\displaystyle y} 1 zal zijn; als x {\displaystyle x} 3 is, y {\displaystyle y} 9 zal zijn; als x {\displaystyle x} 20 is, y {\displaystyle y} 400 zal zijn. De afgeleide die met deze methode wordt verkregen is 2 x {{Displaystyle 2x} , of 2 vermenigvuldigd met x {\displaystyle x} . We weten dus zonder raaklijnen te hoeven tekenen dat in elk punt van de kromme f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} de afgeleide, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (aangeduid met het priemteken), in elk punt 2 x {\displaystyle 2x} zijn. Dit uitrekenen van een helling met behulp van limieten heet differentiëren, of het vinden van de afgeleide.

De manier om de afgeleide in wiskunde te schrijven is f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h . {Displaystyle f^{{{}}(x)=lim _{h} 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz kwam tot hetzelfde resultaat, maar noemde h " d x {\displaystyle dx} ", wat betekent "ten opzichte van x". Hij noemde de resulterende verandering in f ( x ) {\displaystyle f(x)} " d y {Displaystyle dy} ", wat betekent "een heel klein beetje y". De notatie van Leibniz wordt in meer boeken gebruikt omdat deze gemakkelijk te begrijpen is als de vergelijkingen ingewikkelder worden. In Leibniz-notatie: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Wiskundigen hebben deze basistheorie verder ontwikkeld tot eenvoudige algebra-regels die kunnen worden gebruikt om de afgeleide van bijna elke functie te vinden.

Op een kromme hebben twee verschillende punten verschillende hellingen. De rode en blauwe lijnen zijn raaklijnen aan de kromme.


Een plaatje dat laat zien wat x en x + h betekenen op de kromme.

Integrale berekening

Integraalrekening is het proces van het berekenen van de oppervlakte onder een grafiek van een functie. Een voorbeeld is het berekenen van de afstand die een auto aflegt: als je de snelheid van de auto op verschillende tijdstippen kent en een grafiek van die snelheid tekent, dan is de afstand die de auto aflegt de oppervlakte onder de grafiek.

De manier om dit te doen is de grafiek in vele zeer kleine stukjes te verdelen, en dan onder elk stukje zeer dunne rechthoekjes te tekenen. Naarmate de rechthoeken dunner en dunner worden, bedekken de rechthoeken het gebied onder de grafiek steeds beter. De oppervlakte van een rechthoek is gemakkelijk te berekenen, dus kunnen we de totale oppervlakte van alle rechthoeken berekenen. Voor dunnere rechthoeken nadert deze totale oppervlakte de oppervlakte onder de grafiek. De uiteindelijke waarde van de oppervlakte wordt de integraal van de functie genoemd.

In de wiskunde wordt de integraal van de functie f(x) van a naar b, geschreven als ∫ a b f ( x ) d x {{a}^{b}f(x)},dx} .

Bij integratie gaat het erom de oppervlakten te vinden, gegeven a, b en y = f(x).


We kunnen de oppervlakte onder een kromme benaderen door de oppervlakten van vele rechthoeken onder de kromme bij elkaar op te tellen. Hoe meer rechthoeken we gebruiken, hoe beter onze benadering.

Hoofdgedachte van calculus

De hoofdgedachte in de calculus wordt de fundamentele stelling van de calculus genoemd. Deze hoofdgedachte zegt dat de twee calculusprocessen, differentiaalrekening en integraalrekening, elkaars tegenpolen zijn. Dat wil zeggen dat iemand differentiaalrekening kan gebruiken om een integraalrekening ongedaan te maken. Ook kan iemand integraalrekening gebruiken om een differentiaalrekeningmethode ongedaan te maken. Dit is net als delen gebruiken om vermenigvuldigen "ongedaan te maken", of optellen om aftrekken "ongedaan te maken".

In één zin, de fundamentele stelling luidt ongeveer als volgt: "De afgeleide van de integraal van een functie f is de functie zelf".

Andere toepassingen van calculus

Calculus wordt gebruikt om dingen te beschrijven die veranderen, zoals dingen in de natuur. Het kan gebruikt worden om dit alles te laten zien en te leren:

• Hoe golven bewegen. Golven zijn zeer belangrijk in de natuurlijke wereld. Geluid en licht bijvoorbeeld kunnen als golven worden beschouwd.
• Waar warmte beweegt, zoals in een huis. Dit is nuttig voor de architectuur (huizenbouw), zodat het huis zo goedkoop mogelijk te verwarmen is.
• Hoe zeer kleine dingen zoals atomen handelen.
• Hoe snel iets zal vallen, ook bekend als zwaartekracht.
• Hoe machines werken, ook bekend als mechanica.
• Het pad van de maan als het rond de aarde beweegt. Ook het pad van de aarde als het rond de zon beweegt, en elke planeet of maan die rond iets in de ruimte beweegt.