Gauss-eliminatie

In de wiskunde is Gaussiaanse eliminatie (ook wel rijreductie genoemd) een methode die gebruikt wordt om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen. Het is vernoemd naar Carl Friedrich Gauss, een beroemde Duitse wiskundige die over deze methode schreef, maar deze niet heeft uitgevonden.

Om Gaussiaanse eliminatie uit te voeren, worden de coëfficiënten van de termen in het stelsel van lineaire vergelijkingen gebruikt om een soort matrix te creëren die een augmented matrix wordt genoemd. Vervolgens worden elementaire rij-bewerkingen gebruikt om de matrix te vereenvoudigen. De drie types van rijbewerkingen die gebruikt worden zijn:

Type 1: Omschakelen van een rij met een andere rij.

Type 2: Vermenigvuldiging van een rij met een getal dat niet gelijk is aan nul.

Type 3: optellen of aftrekken van een rij van een andere rij.

Het doel van Gaussiaanse eliminatie is om de matrix in rij-echelonvorm te krijgen. Als een matrix in rij-echelonvorm is, betekent dit dat het lezen van links naar rechts, elke rij begint met minstens één meer nulterm dan de rij erboven. Sommige definities van Gaussiaanse eliminatie zeggen dat het matrixresultaat in gereduceerde rij-echelonvorm moet zijn. Dat betekent dat de matrix in rij-echelonvorm is en de enige niet-nul-term in elke rij is 1. Gaussiaanse eliminatie die een gereduceerd rij-echelon matrixresultaat oplevert wordt soms Gauss-Jordaanse eliminatie genoemd.

Voorbeeld

Stel dat het doel is om de antwoorden op dit stelsel van lineaire vergelijkingen te vinden.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\in{alignedat}{7} 2x&&&&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Eerst moet het systeem worden omgevormd tot een verhoogde matrix. In een vergrote matrix wordt elke lineaire vergelijking een rij. Aan één kant van de vergrote matrix worden de coëfficiënten van elke term in de lineaire vergelijking getallen in de matrix. Aan de andere kant van de geaugmenteerde matrix zijn de constante termen waaraan elke lineaire vergelijking gelijk is. Voor dit stelsel is de vergrote matrix:

2 1 - 18 - 3 - 12 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\\an5} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Vervolgens kunnen de rijenbewerkingen worden uitgevoerd op de vergrote matrix om deze te vereenvoudigen. De tabel hieronder toont het proces van rijreductie op het stelsel van vergelijkingen en op de vergrote matrix.

Stelsel van vergelijkingen	Rijoperaties	Verhoogde matrix
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\in{uitgelijndat}{7}2x&&&&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		2 1 - 18 - 3 - 12 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\\an5} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\\in{alignedat}{7}2x&&&&&&&&;+&&y&&&&;z&&&;=;&&8&\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&& 2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {displaystyle R_{2}+{frac {3}{2}}R_{1}Rugrij R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {displaystyle R_{3}+R_{1}\\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ]. $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\\in{alignedat}{7}2x&&&&y;&&&&&&;z;&&=;&&8&\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\\\\\\\\\\\an55}+-4R_{2} R_{3} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 1 ] {\\an5} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

De matrix is nu in rij-echelonvorm. Dit wordt ook wel driehoekige vorm genoemd.

Stelsel van vergelijkingen	Rijoperaties	Verhoogde matrix
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\in{alignedat}{7}2x&&&y;+&y;&&&&;\;&&=;&&7&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {displaystyle R_{2}+{frac {1}{2}}R_{3}Rugrij R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {displaystyle R_{1}-R_{3}\\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	2 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 1 1... $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1... 2x&&&y; &&&&; &&&= &&7&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\\\\\\\\\\\le R__3} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	2 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ]... $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 speelstijl, beginnend bij 7x&&&&&&&. y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {displaystyle R_{1}-R_{2}\\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\frac {2}}R_1}R_1}Rechtspijl R_1} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ]... $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

De matrix is nu in gereduceerde rij-echelonvorm. Het lezen van deze matrix vertelt ons dat de oplossingen voor dit stelsel van vergelijkingen voorkomen als x = 2, y = 3, en z = -1.

Vragen en antwoorden

V: Wat is Gaussische eliminatie?

A: Gaussische eliminatie is een methode die in de wiskunde gebruikt wordt om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen.

V: Naar wie is het genoemd?

A: Ze is genoemd naar Carl Friedrich Gauss, een beroemde Duitse wiskundige die over deze methode schreef, maar ze niet uitvond.

V: Hoe wordt Gaussische eliminatie uitgevoerd?

A: Gaussische eliminatie wordt uitgevoerd door de coëfficiënten van de termen in het stelsel van lineaire vergelijkingen te gebruiken om een geaugmenteerde matrix te creëren. Vervolgens worden elementaire rijbewerkingen gebruikt om de matrix te vereenvoudigen.

V: Wat zijn de drie soorten rijbewerkingen die in Gaussische eliminatie gebruikt worden?

A: De drie soorten rijbewerkingen die in Gaussische eliminatie gebruikt worden zijn: Een rij verwisselen met een andere rij, Een rij vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is, en Een rij optellen bij of aftrekken van een andere rij.

V: Wat is het doel van Gaussische eliminatie?

A: Het doel van Gaussische eliminatie is om de matrix in rij-echelonvorm te krijgen.

V: Wat is rij-echelon vorm?

A: Als een matrix rij-echelonvormig is, betekent dit dat, van links naar rechts lezend, elke rij begint met minstens één nulterm meer dan de rij erboven.

V: Wat is gereduceerde rij-echelonvorm?

A: Verminderde rij-echelonvorm betekent dat de matrix in rij-echelonvorm is en dat de enige term zonder nul in elke rij 1 is. Gaussische eliminatie die een verminderde rij-echelonmatrix oplevert, wordt soms Gauss-Jordan eliminatie genoemd.