Gaussiaanse eliminatie: rijreductie en Gauss-Jordaanse methode voor lineaire stelsels

Leer Gaussiaanse eliminatie, rijreductie en de Gauss-Jordaanse methode stap-voor-stap om lineaire stelsels efficiënt op te lossen — theorie, voorbeelden en tips.

Schrijver: Leandro Alegsa

10-02-2026 21:52

In de wiskunde is Gaussiaanse eliminatie (ook wel rijreductie genoemd) een algemene en systematische methode om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen. De naam verwijst naar Carl Friedrich Gauss, die de methode populair maakte door erover te schrijven; historisch bestaan er varianten die ouder zijn dan Gauss, maar de geformaliseerde werkwijze draagt zijn naam.

Augmented matrix en doel

Bij Gaussiaanse eliminatie zet men de coëfficiënten van het stelsel samen in een matrix, vaak als een augmented matrix waarin de rechterlid-waarden in een extra kolom zijn opgenomen. Met elementaire rijbewerkingen probeert men die matrix te transformeren naar een eenvoudiger vorm, zodat de oplossingen van het stelsel direct of met eenvoudige terugsubstitutie af te lezen zijn. Het uiteindelijke doel is meestal:

de rij-echelonvorm (REF): elke niet-nulrij heeft een leidend element (pivot) dat rechts van het leidende element van de rij erboven ligt, en rijen bestaande uit alleen nullen staan onderaan, of
de gereduceerde rij-echelonvorm (RREF): de matrix is in REF, elk leidend element is 1, en in elke kolom met een leidend element is dat de enige niet-nulwaarde.

Elementaire rijbewerkingen

Er zijn precies drie soorten elementaire rijoperaties die toegestaan zijn en die de oplossingsset van het stelsel onveranderd laten:

Type 1: wisselen van twee rijen (permutatie).
Type 2: vermenigvuldigen van een rij met een niet-nul getal (schalen).
Type 3: optellen van een veelvoud van de ene rij bij een andere rij (rijvervanging).

Algoritme in twee fasen

In praktische toepassingen worden vaak twee fasen onderscheiden:

Voorwaartse eliminatie (forward elimination): gebruik rijoperaties om nullen onder de pivots te krijgen en zo de matrix in rij-echelonvorm te brengen. Dit reduceert het stelsel tot een triangulaire vorm.
Terugsubstitutie of Gauss-Jordaan: bij terugsubstitutie lost men een triangulair stelsel op van beneden naar boven om de onbekenden te bepalen. Als men verder gaat tot gereduceerde rij-echelonvorm (eliminatie ook boven de pivots), noemt men dat Gauss-Jordaanse eliminatie — dan is elke pivot 1 en staan er alleen nullen boven en onder elke pivot, zodat oplossingen direct afleesbaar zijn.

Soorten oplossingen

Analyse van de gereduceerde matrix geeft inzicht in de oplossingen:

Als elke onbekende een pivotkolom heeft → unieke oplossing.
Als er minder pivots zijn dan onbekenden → er bestaan vrije variabelen en het stelsel heeft oneindig veel oplossingen (parametrische beschrijving mogelijk).
Als een rij van de vorm [0 ... 0 | b] met b ≠ 0 ontstaat → het stelsel is inconsistent (geen oplossing).
Voor homogene stelsels (rechterlid nul) is er altijd minstens de triviale oplossing; vrije variabelen leiden tot niet-triviale oplossingsruimten.

Praktische aspecten

Pivotkeuze en numerieke stabiliteit: bij rekenkundige toepassingen met drijvende-kommagetallen is het belangrijk om slimme pivotstrategieën te gebruiken, zoals partiële pivotering (rijverwisseling om de grootste absolute waarde als pivot te kiezen) of volledige pivotering, om foutaccumulatie te verminderen.
Complexiteit: de klassieke Gauss-eliminatie kost in het algemeen O(n^3) rekenbewerkingen voor een n×n-systeem; geheugen en rekenkosten maken het minder geschikt voor zeer grote systemen zonder speciale technieken.
Determinant en rang: voor een vierkante matrix is de determinant gelijk aan het product van de (eventueel geschaalde) pivotwaarden, met aandacht voor tekens bij rijwissels. De rang van de matrix blijkt uit het aantal pivots en bepaalt of oplossingen uniek zijn.
Alternatieve methoden: voor grote, gestructureerde of zeldzame systemen gebruikt men vaak iteratieve methoden (bijv. CG, GMRES) of speciale directe methoden die beter gebruikmaken van sparseness.

Samenvatting

Gaussiaanse eliminatie is een fundamentele methode voor het oplossen en analyseren van lineaire stelsels. Door toepassing van drie elementaire rijbewerkingen transformeert men de augmented matrix naar een eenvoudiger vorm (rij-echelon of gereduceerde rij-echelon). Of men kiest voor eenvoudige terugsubstitutie of volledige Gauss-Jordaanse reductie hangt af van de gewenste vorm en praktische overwegingen zoals bruikbaarheid voor verdere analyses, numerieke stabiliteit en rekentijd.

Voorbeeld

Stel dat het doel is om de antwoorden op dit stelsel van lineaire vergelijkingen te vinden.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\in{alignedat}{7} 2x&&&&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Eerst moet het systeem worden omgevormd tot een verhoogde matrix. In een vergrote matrix wordt elke lineaire vergelijking een rij. Aan één kant van de vergrote matrix worden de coëfficiënten van elke term in de lineaire vergelijking getallen in de matrix. Aan de andere kant van de geaugmenteerde matrix zijn de constante termen waaraan elke lineaire vergelijking gelijk is. Voor dit stelsel is de vergrote matrix:

2 1 - 18 - 3 - 12 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\\an5} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Vervolgens kunnen de rijenbewerkingen worden uitgevoerd op de vergrote matrix om deze te vereenvoudigen. De tabel hieronder toont het proces van rijreductie op het stelsel van vergelijkingen en op de vergrote matrix.

Stelsel van vergelijkingen	Rijoperaties	Verhoogde matrix
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\in{uitgelijndat}{7}2x&&&&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		2 1 - 18 - 3 - 12 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\\an5} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\\in{alignedat}{7}2x&&&&&&&&;+&&y&&&&;z&&&;=;&&8&\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&& 2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {displaystyle R_{2}+{frac {3}{2}}R_{1}Rugrij R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {displaystyle R_{3}+R_{1}\\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ]. $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\\in{alignedat}{7}2x&&&&y;&&&&&&;z;&&=;&&8&\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\\\\\\\\\\\an55}+-4R_{2} R_{3} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 1 ] {\\an5} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

De matrix is nu in rij-echelonvorm. Dit wordt ook wel driehoekige vorm genoemd.

Stelsel van vergelijkingen	Rijoperaties	Verhoogde matrix
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\in{alignedat}{7}2x&&&y;+&y;&&&&;\;&&=;&&7&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {displaystyle R_{2}+{frac {1}{2}}R_{3}Rugrij R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {displaystyle R_{1}-R_{3}\\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	2 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 1 1... $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1... 2x&&&y; &&&&; &&&= &&7&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\\\\\\\\\\\le R__3} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	2 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ]... $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 speelstijl, beginnend bij 7x&&&&&&&. y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {displaystyle R_{1}-R_{2}\\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\frac {2}}R_1}R_1}Rechtspijl R_1} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ]... $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

De matrix is nu in gereduceerde rij-echelonvorm. Het lezen van deze matrix vertelt ons dat de oplossingen voor dit stelsel van vergelijkingen voorkomen als x = 2, y = 3, en z = -1.

Vragen en antwoorden

V: Wat is Gaussische eliminatie?

A: Gaussische eliminatie is een methode die in de wiskunde gebruikt wordt om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen.

V: Naar wie is het genoemd?

A: Ze is genoemd naar Carl Friedrich Gauss, een beroemde Duitse wiskundige die over deze methode schreef, maar ze niet uitvond.

V: Hoe wordt Gaussische eliminatie uitgevoerd?

A: Gaussische eliminatie wordt uitgevoerd door de coëfficiënten van de termen in het stelsel van lineaire vergelijkingen te gebruiken om een geaugmenteerde matrix te creëren. Vervolgens worden elementaire rijbewerkingen gebruikt om de matrix te vereenvoudigen.

V: Wat zijn de drie soorten rijbewerkingen die in Gaussische eliminatie gebruikt worden?

A: De drie soorten rijbewerkingen die in Gaussische eliminatie gebruikt worden zijn: Een rij verwisselen met een andere rij, Een rij vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is, en Een rij optellen bij of aftrekken van een andere rij.

V: Wat is het doel van Gaussische eliminatie?

A: Het doel van Gaussische eliminatie is om de matrix in rij-echelonvorm te krijgen.

V: Wat is rij-echelon vorm?

A: Als een matrix rij-echelonvormig is, betekent dit dat, van links naar rechts lezend, elke rij begint met minstens één nulterm meer dan de rij erboven.

V: Wat is gereduceerde rij-echelonvorm?

A: Verminderde rij-echelonvorm betekent dat de matrix in rij-echelonvorm is en dat de enige term zonder nul in elke rij 1 is. Gaussische eliminatie die een verminderde rij-echelonmatrix oplevert, wordt soms Gauss-Jordan eliminatie genoemd.

Zoek in de encyclopedie