Wortel 2

Schrijver: Leandro Alegsa Aanmaakdatum: 20 april 2021

De vierkantswortel van 2, of de (1/2)e macht van 2, in de wiskunde geschreven als √2 of ^21⁄2, is het positieve irrationale getal dat, wanneer het met zichzelf wordt vermenigvuldigd, gelijk is aan het getal 2. Om correcter te zijn, wordt het de belangrijkste vierkantswortel van 2 genoemd, om het te onderscheiden van de negatieve versie van zichzelf waar dat ook geldt.

Meetkundig gezien is de vierkantswortel van 2 de lengte van een diagonaal over een vierkant met zijden met lengte 1; deze kan worden gevonden met de stelling van Pythagoras.

De vierkantswortel uit 2 is gelijk aan de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met benen van lengte 1

Bewijs dat de vierkantswortel van 2 niet rationaal is

Het getal 2 ${\sqrt {2}}$ {\an5}}is niet rationaal. Hier is het bewijs.

Neem aan dat 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} ${\sqrt {2}}$ rationaal is. Er zijn dus getallen a , b {\displaystyle a,b}} $a,b$ zo dat a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
We kunnen a en b zo kiezen dat ofwel a ofwel b oneven is. Als a en b allebei even zijn, dan kan de breuk vereenvoudigd worden (bijvoorbeeld, in plaats van 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} ${\frac {2}{4}}$ kunnen we bijvoorbeeld 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ schrijven).
Als beide zijden van de vergelijking worden gekwadrateerd, dan krijgen we a2 / b2 = 2 en a2 = 2 b2.
De rechterkant is 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Dit getal is even. Dus moet de linkerkant ook even zijn. Dus a 2 {{2}} $a^{2}$ is even. Als een oneven getal wordt gekwadrateerd, dan zal een oneven getal het resultaat zijn. En als een even getal wordt gekwadrateerd, dan is een even getal ook het resultaat. Dus a {{2}} is even.
Omdat a even is, kan het geschreven worden als: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
De vergelijking uit stap 3 wordt gebruikt. We krijgen 2b2 = (2k)²
Een exponentieregel kan worden gebruikt (zie het artikel) - het resultaat is 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Beide zijden zijn gedeeld door 2. Dus b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . Dit betekent dat b {\displaystyle b} $b$ even is.
In stap 2 zeiden we dat a oneven is of b oneven is. Maar in stap 4 werd gezegd dat a even is, en in stap 7 werd gezegd dat b even is. Als de aanname die we in stap 1 deden waar is, dan moeten al die andere dingen ook waar zijn, maar omdat ze het niet met elkaar eens zijn kunnen ze niet allemaal waar zijn; dat betekent dat onze aanname niet waar is.

Het is niet waar dat 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} ${\sqrt {2}}$ een rationaal getal is. Dus 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} ${\sqrt {2}}$ is irrationaal.