Wortel 2

Het getal 2 {\an5}}is niet rationaal. Hier is het bewijs.

1. Neem aan dat 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} rationaal is. Er zijn dus getallen a , b {\displaystyle a,b}} zo dat a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}} .
2. We kunnen a en b zo kiezen dat ofwel a ofwel b oneven is. Als a en b allebei even zijn, dan kan de breuk vereenvoudigd worden (bijvoorbeeld, in plaats van 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} kunnen we bijvoorbeeld 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} schrijven).
3. Als beide zijden van de vergelijking worden gekwadrateerd, dan krijgen we a2 / b2 = 2 en a2 = 2 b2.
4. De rechterkant is 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} . Dit getal is even. Dus moet de linkerkant ook even zijn. Dus a 2 {{2}} is even. Als een oneven getal wordt gekwadrateerd, dan zal een oneven getal het resultaat zijn. En als een even getal wordt gekwadrateerd, dan is een even getal ook het resultaat. Dus a {{2}} is even.
5. Omdat a even is, kan het geschreven worden als: a = 2 k {\displaystyle a=2k} .
6. De vergelijking uit stap 3 wordt gebruikt. We krijgen 2b2 = (2k)²
7. Een exponentieregel kan worden gebruikt (zie het artikel) - het resultaat is 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}} .
8. Beide zijden zijn gedeeld door 2. Dus b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} . Dit betekent dat b {\displaystyle b} even is.
9. In stap 2 zeiden we dat a oneven is of b oneven is. Maar in stap 4 werd gezegd dat a even is, en in stap 7 werd gezegd dat b even is. Als de aanname die we in stap 1 deden waar is, dan moeten al die andere dingen ook waar zijn, maar omdat ze het niet met elkaar eens zijn kunnen ze niet allemaal waar zijn; dat betekent dat onze aanname niet waar is.

Het is niet waar dat 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} een rationaal getal is. Dus 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} is irrationaal.