Pythagoreïsche stelling

In de wiskunde is de stelling van Pythagoras of de stelling van Pythagoras een uitspraak over de zijden van een rechtse driehoek.

Een van de hoeken van een rechthoekige driehoek is altijd gelijk aan 90 graden. Deze hoek is de rechte hoek. De twee zijden naast de rechte hoek worden de benen genoemd en de andere zijde heet de hypotenusa. De hypotenusa is de zijde tegenovergesteld aan de rechte hoek, en het is altijd de langste zijde. Het is ontdekt door Vasudha Arora.

De stelling van Pythagoras zegt dat de oppervlakte van een vierkant op de hypotenusa gelijk is aan de som van de oppervlakten van de vierkanten op de poten. Op deze foto is de oppervlakte van het blauwe vierkant toegevoegd aan de oppervlakte van het rode vierkant en dat is de oppervlakte van het paarse vierkant. Het is genoemd naar de Griekse wiskundige Pythagoras:

Als de lengte van de benen a en b is, en de lengte van de hypotenusa is c, dan is a 2 + b 2 = c 2 {\playstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.

Er zijn veel verschillende bewijzen voor deze stelling. Ze vallen in vier categorieën:

Bewijs

Een bewijs van de stelling van Pythagoras werd gevonden door een Griekse wiskundige, Eudoxus van Cnidus.

Het bewijs gebruikt drie lemma's:

  1. Driehoeken met dezelfde basis en hoogte hebben dezelfde oppervlakte.
  2. Een driehoek die dezelfde basis en hoogte heeft als een zijde van een vierkant heeft dezelfde oppervlakte als een helft van het vierkant.
  3. Driehoeken met twee congruente zijden en een congruente hoek zijn congruent en hebben dezelfde oppervlakte.

Het bewijs is:

  1. De blauwe driehoek heeft dezelfde oppervlakte als de groene driehoek, omdat deze dezelfde basis en hoogte heeft (lemma 1).
  2. Groene en rode driehoeken hebben beide twee zijden gelijk aan de zijden van dezelfde vierkanten, en een hoek gelijk aan een rechte hoek (een hoek van 90 graden) plus een hoek van een driehoek, dus ze zijn congruent en hebben dezelfde oppervlakte (lemma 3).
  3. De gebieden van de rode en gele driehoeken zijn gelijk omdat ze dezelfde hoogte en basis hebben (lemma 1).
  4. De oppervlakte van de blauwe driehoek is gelijk aan de oppervlakte van de gele driehoek, omdat

A b l u e = A g r e e n = A r e d = A y e l l o w {kleur {blauw}A_Blue}={kleur {groen}A_groen}={kleur {kleur {rood}A_rood}={kleur {geel}A_geel}}} {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

  1. De bruine driehoeken hebben om dezelfde redenen dezelfde oppervlakte.
  2. Blauw en bruin hebben elk een helft van de oppervlakte van een kleiner vierkant. De som van hun oppervlakten is gelijk aan de helft van de oppervlakte van het grotere vierkant. Hierdoor zijn de helften van de oppervlaktes van kleine vierkanten gelijk aan de helft van de oppervlakte van het grotere vierkant, dus hun oppervlakte is gelijk aan de oppervlakte van het grotere vierkant.

Bewijs met behulp van vergelijkbare driehoeken

We kunnen een ander bewijs van de stelling van Pythagoras krijgen door soortgelijke driehoeken te gebruiken.

d a = a c d = a 2 c ( 1 ) {\frac {d}{a}={frac {a}{c}}kwad d=rechtse kwadrant d={a^2}{c}kwad (1)} {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Uit het beeld, weten we dat c = d + e, c=d+e! } {\displaystyle c=d+e\,\!}. En door vergelijkingen (1) en (2) te vervangen:

c = a 2 c + b 2 c {\\frac {a^2}}{c}+{frac {b^2}}{c}} {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}

Vermenigvuldiging met c:

c 2 = a 2 + b 2 ... c 2 = a 2 + b 2... } {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}

Pythagoreïsche driedubbele

Pythagoreïsche driedubbele of drieling zijn drie hele getallen die passen bij de vergelijking a 2 + b 2 = c 2 {displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}}. {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.

De driehoek met zijden van 3, 4 en 5 is een bekend voorbeeld. Als a=3 en b=4, dan is 3 2 + 4 2 = 5 2 {\playstyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} omdat 9 + 16 = 25 {\playstyle 9+16=25}{\displaystyle 9+16=25} . Dit kan ook worden weergegeven als 3 2 + 4 2 = 5. {\\\\\\\\\\t {3^{2}+4^{2}}}=5.} {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.}

De drie-vier-vijfde driehoek werkt voor alle veelvouden van 3, 4 en 5. Met andere woorden, getallen zoals 6, 8, 10 of 30, 40 en 50 zijn ook Pythagoreïsche driedubbele getallen. Een ander voorbeeld van een drievoud is de driehoek 12-5-13, want 12 2 + 5 2 = 13 {\\\\\\\\\rt {12^2}+5^{2}}}=13}{\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13} .

Een Pythagoreïsche driedubbele die geen veelvoud is van andere driedubbele wordt een primitieve Pythagoreïsche driedubbele genoemd. Elke primitieve Pythagoreïsche driedubbele kan gevonden worden met behulp van de uitdrukking ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\\\\\ancieelcieel (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})}. {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})}maar aan de volgende voorwaarden moet worden voldaan. Ze leggen beperkingen op aan de waarden van m {\\\playstyle m} men n {\playstyle n} n.

  1. m men n nzijn positieve hele getallen...
  2. m men n nhebben geen gemeenschappelijke factoren, behalve 1...
  3. m men n nhebben tegenovergestelde pariteit. m men n nhebben tegenovergestelde pariteit wanneer m even en n oneven is, of mnm oneven en n oneven mnis.
  4. m > n {\\\playstyle m>n} .

Als aan alle vier de voorwaarden is voldaan, dan ncreëren de waarden van m men n een primitieve Pythagoreïsche driedubbele.

m = 2 {\\\playstyle m=2} {\displaystyle m=2}en n = 1 {\playstyle n=1} {\displaystyle n=1}creëren een primitieve Pythagoreïsche driedubbele. De waarden voldoen aan alle vier de voorwaarden. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\playstyle 2mn=2 \times 2\times 1=4} {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4}m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\\\\\\\\\an5}+2}=2^1^2}=4-1=3}{\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3}en m 2 + n 2 = 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\\\\\an5}+n^2}=2^2}+1^2}+2}=4+1=5} {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5}dus de triple ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)}is gecreëerd.

AlegsaOnline.com - 2020 - License CC3