Stelling van Bayes

De gebruikte vergelijking is:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {P(A|B)={frac {P(B|A)},P(A)}{P(B)}}.}

Waar:

• P(A) is de voorafgaande waarschijnlijkheid of marginale waarschijnlijkheid van A. Het is "voorafgaand" in de zin dat het geen rekening houdt met enige informatie over B.
• P(A|B) is de voorwaardelijke kans op A, gegeven B. Het wordt ook wel de posterieure kans genoemd, omdat deze wordt afgeleid van (of afhangt van) de opgegeven waarde van B.
• P(B|A) is de voorwaardelijke kans op B gegeven A. Het wordt ook wel de waarschijnlijkheid genoemd.
• P(B) is de voorafgaande of marginale kans op B, en werkt als een normaliserende constante.

In veel scenario's wordt P(B) indirect berekend met de formule P ( B ) = P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | A c ) P ( A c ) {P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^{c})P(A^{c})}. , wat eenvoudig stelt dat de kans op B de som is van de voorwaardelijke kansen gebaseerd op het al dan niet voorkomen van A.

Een eenvoudig voorbeeld is het volgende: Er is 40% kans op regen op zondag. Als het zondag regent, is er 10% kans op regen op maandag. Als het zondag niet regent, dan is er 80% kans dat het maandag regent.

"Regen op zondag" is gebeurtenis A, en "Regen op maandag" is gebeurtenis B.

• P( A ) = 0,40 = kans op regen op zondag.
• P( A` ) = 0,60 = Kans dat het zondag niet regent.
• P( B | A ) = 0,10 = Kans op regen op maandag, als het op zondag heeft geregend.
• P( B` | A ) = 0,90 = Waarschijnlijkheid dat het maandag niet regent, als het zondag heeft geregend.
• P( B | A` ) = 0,80 = Kans op regen op maandag, als het zondag niet geregend heeft.
• P( B` |A` ) = 0,20 = Kans dat het maandag niet regent, als het zondag niet geregend heeft.

Het eerste wat we normaal gesproken zouden berekenen is de kans dat het maandag regent: Dit is de som van de kans op "Regen op zondag en regen op maandag" en "Geen regen op zondag en regen op maandag":

0,40 × 0,10 + 0,60 × 0,80 = 0,52 = 52 % {\displaystyle 0,40 maal 0,10+0,60 maal 0,80=0,52=52%} kans

Als ons echter werd gevraagd de waarschijnlijkheid te berekenen dat het zondag regende, gegeven dat het maandag regende, dan komt hier de stelling van Bayes om de hoek kijken. Hiermee kunnen we de waarschijnlijkheid van een eerdere gebeurtenis berekenen, gegeven het resultaat van een latere gebeurtenis.

De gebruikte vergelijking is:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {P(A|B)={frac {P(B|A)},P(A)}{P(B)}}.}

In ons geval is "Regen op zondag" gebeurtenis A, en "Regen op maandag" gebeurtenis B.

• P(B|A) = 0,10 = Kans op regen op maandag, als het op zondag heeft geregend.
• P(A) = 0,40 = kans op regen op zondag.
• P(B) = 0,52 = kans op regen op maandag.

Dus om de kans te berekenen dat het zondag regende, gegeven dat het maandag regende, gebruiken we de formule:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {P(A|B)={frac {P(B|A)},P(A)}{P(B)}}.}

of:

P ( A | B ) = 0,10 ∗ 0,40 0,52 = .0769 {P(A|B)={frac {0,10*0,40}{0,52}}=.0769}.

Met andere woorden, als het maandag heeft geregend, dan is er een kans van 7,69% dat het zondag heeft geregend.

Om de kans te berekenen dat het zondag heeft geregend, gegeven dat het maandag heeft geregend, kunnen we de volgende stappen nemen:

• We weten dat het maandag heeft geregend. Daarom is de totale kans P(B).
• De kans dat het zondag regende is P(A).
• De kans dat het maandag regende, gegeven dat het zondag regende, is P(B|A).
• De kans dat het zondag regent en maandag regent is P(A)*P(B|A).
• Daarom is de totale kans dat het zondag heeft geregend, gegeven dat het maandag heeft geregend, de kans dat het zondag en maandag heeft geregend gedeeld door de totale kans dat het maandag heeft geregend.

Daarom,

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {P(A|B)={frac {P(B|A)},P(A)}{P(B)}}.}

Een andere manier om dit te zien, die laat zien waar het theorema van Bayes vandaan komt, is door te kijken naar de kans P(AB) dat het zowel op zondag als op maandag regent. Deze kan op twee verschillende manieren worden berekend, die hetzelfde antwoord geven voor P(AB):

P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A | B ) {P(A), P(B|A)=P(B), P(A|B)}.

In dit opzicht is de stelling van Bayes gewoon een andere manier om die vergelijking te schrijven.

• Bayesiaanse waarschijnlijkheid
• Bayesiaans netwerk