De wavelettransformatie is een tijdfrequentieweergave van een signaal. We gebruiken het bijvoorbeeld voor ruisonderdrukking, extractie of signaalcompressie.

Wavelettransformatie van een continu signaal wordt gedefinieerd als

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\psi }fright](a),b) = = {\frac {\frt }, maar... {\f(t)}, links {\frac {tb}, rechts {\a}, {\frac }{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,},

waar

  • ψ \psi is een zogenaamde moederwavelet,
  • een displaystyle aa staat voor waveletdilatatie,
  • b geeft de tijdverschuiving van de wavelet {\displaystyle b}aan...
  • ∗ Het {\displaystyle *}symbool geeft aan dat het om een complexe vervoeging gaat.

In het geval van a = a 0 m {\playstyle a={a_{0}}^^m} {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}en b = a 0 m k T {displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}waar een 0 > 1 a_0}>1 {\displaystyle a_{0}>1}T > 0 {\displaystyle T>0} en m {displaystyle{\displaystyle T>0} m} en k {displaystylem k} zijn kgehele constanten, de wavelettransformatie wordt discrete wavelettransformatie (van een continu signaal) genoemd.

In het geval van a = 2 m {displaystyle a=2^{m}} {\displaystyle a=2^{m}}en b = 2 m k T {displaystyle b=2^{m}kT} {\displaystyle b=2^{m}kT}waar m > 0 m > 0 {\displaystyle m>0}de discrete wavelettransformatie wordt dyadisch genoemd. Het is gedefinieerd als

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\psi }links [W__fright](m},k) = {\frac {\frt {2}COPY0}in de vorm van..{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,},

waar

  • m {\\\\\\\\\\le m} mis frequentie schaal,
  • k {\\\\\\\\\\le} kis tijdsschaal en
  • T {\displaystyle T}is constant en dat hangt af van moederwavelet.

Het is mogelijk om dyadische discrete wavelettransformatie te herschrijven als

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\psi }fright}(m,k)=int _ __infty }{f(t)h_{m}left(2}kT-t-tight)}d {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,},

waarbij h {\\playstyle h_{m}}{\displaystyle h_{m}} impuls kenmerkend is voor een continu filter dat identiek is aan ψ m ∗ {\psi _{m}}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} voor bepaalde m {displaystyle m}m .

Analoog wordt de dyadische wavelettransformatie met discrete tijd (van discreet signaal) gedefinieerd als