Wavelettransformatie

De wavelettransformatie is een tijdfrequentieweergave van een signaal. We gebruiken het bijvoorbeeld voor ruisonderdrukking, extractie of signaalcompressie.

Wavelettransformatie van een continu signaal wordt gedefinieerd als

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\psi }fright](a),b) = = {\frac {\frt }, maar... {\f(t)}, links {\frac {tb}, rechts {\a}, {\frac } $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

waar

ψ $\psi$ is een zogenaamde moederwavelet,
een displaystyle a staat voor waveletdilatatie,
b geeft de tijdverschuiving van de wavelet $b$ aan...
∗ Het $*$ symbool geeft aan dat het om een complexe vervoeging gaat.

In het geval van a = a 0 m {\playstyle a={a_{0}}^^m} $a={a_{0}}^{m}$ en b = a 0 m k T {displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ waar een 0 > 1 a_0}>1 $a_{0}>1$ T > 0 {\displaystyle T>0} en m {displaystyle $T>0$ m} en k {displaystyle k} zijn gehele constanten, de wavelettransformatie wordt discrete wavelettransformatie (van een continu signaal) genoemd.

In het geval van a = 2 m {displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ en b = 2 m k T {displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ waar m > 0 m > 0 $m>0$ de discrete wavelettransformatie wordt dyadisch genoemd. Het is gedefinieerd als

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\psi }links [W__fright](m},k) = {\frac {\frt {2}COPY0}in de vorm van.. $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

waar

m {\\\\\\\\\\le m} is frequentie schaal,
k {\\\\\\\\\\le} is tijdsschaal en
T $T$ is constant en dat hangt af van moederwavelet.

Het is mogelijk om dyadische discrete wavelettransformatie te herschrijven als

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\psi }fright}(m,k)=int _ __infty }{f(t)h_{m}left(2}kT-t-tight)}d $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

waarbij h {\\playstyle h_{m}} $h_{m}$ impuls kenmerkend is voor een continu filter dat identiek is aan ψ m ∗ {\psi _{m}}} ${\psi _{m}}^{*}$ voor bepaalde m {displaystyle m} .

Analoog wordt de dyadische wavelettransformatie met discrete tijd (van discreet signaal) gedefinieerd als

Continue wavelettransformatie van het signaal van de frequentieafwijking. Gebruikte symet met 5 verdwijnmomenten.

Vragen en antwoorden

V: Wat is de wavelettransformatie?

A: De wavelettransformatie is een tijd-frequentie weergave van een signaal die wordt gebruikt voor ruisonderdrukking, kenmerkextractie of signaalcompressie.

V: Hoe wordt de wavelettransformatie van continue signalen gedefinieerd?

A: De wavelettransformatie van continue signalen wordt gedefinieerd als een integraal over alle waarden van een functie vermenigvuldigd met een moederwavelet, waarbij de parameters "a" en "b" respectievelijk de dilatatie en de tijdverschuiving aangeven.

V: Wat zijn dyadische discrete wavelettransformaties?

A: Dyadische discrete wavelettransformaties zijn discrete versies van de gewone discrete wavelettransformaties met frequentieschaal 'm', tijdschaal 'k' en constante 'T'. Zij kunnen worden herschreven als een integraal over alle waarden van een functie, vermenigvuldigd met een impulskarakteristiek filter dat identiek is aan de moederwavelet voor gegeven m.

V: Wat betekent "moederwavelet" in deze context?

A: In deze context verwijst "moederwavelet" naar functies die samen met andere functies worden gebruikt om de basis te vormen voor de berekening van een bepaald type transformatie (in dit geval de Wavelet Transformatie).

V: Hoe berekent men dyadische discrete wavelets?

A: Dyadische Discrete Wavelets worden berekend met behulp van een integraal over alle waarden van een functie vermenigvuldigd met een impulskarakteristiek filter dat identiek is aan de moederwavelet voor gegeven m. Bovendien hebben zij frequentieschaal m, tijdschaal k en constante T als parameters nodig.

V: Wat betekenen "a" en "b" bij het definiëren van continue wavelets?

A: Bij de definitie van continue wavelets staat "a" voor dilatatie en "b" voor tijdverschuiving.