Wavelet

Een Wavelet is een wiskundige functie die gebruikt wordt om een functie of signaal op te schrijven in termen van andere functies die eenvoudiger te bestuderen zijn. Veel signaalverwerkingstaken zijn te zien in termen van een wavelettransformatie. Informeel gezien is het signaal te zien onder de lens met een vergroting gegeven door de schaal van de wavelet. Daarbij kunnen we alleen de informatie zien die wordt bepaald door de vorm van de gebruikte wavelet.

De Engelse term "wavelet" werd begin jaren tachtig geïntroduceerd door de Franse natuurkundigen Jean Morlet en Alex Grossman. Zij gebruikten het Franse woord "ondelette" (wat "kleine golf" betekent). Later werd dit woord in het Engels gebracht door "onde" te vertalen naar "wave" wat "wavelet" betekent.

Wavelet is (complexe) functie van de Hilbert ruimte ψ ∈ L 2 ( R ) {\psi \psi in L^{2}(\mathbb {R}}} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Voor praktische toepassingen moet het aan de volgende voorwaarden voldoen.

Het moet eindige energie hebben.

∫ - ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\\\an5} $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Het moet voldoen aan een ontvankelijkheidsvoorwaarde.

∫ 0 | ψ | ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\\an5} {\psi }({\psi }}(|2}) \over... over... over... over... over... over... over... over... over... over... over... over... over... $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ ...waar ψ een Fourier-transformatie ${\hat {\psi }}$ is van ψ... $\psi \,$

Nul betekent dat de ontvankelijkheidsvoorwaarde niet van toepassing is.

∫ - ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\\\an5} ^ {\an5} {\\an5} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

De functie ψ $\psi \,$ heet mother wavelet. De vertaalde (verschoven) en gedilateerde (geschaalde) genormaliseerde versies zijn als volgt gedefinieerd.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\a,b}(t)={frac {1}(sqrt {a})} {\\\psi {\an8} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

De oorspronkelijke moederwavelet heeft de parameters a = 1 {\playstyle a=1} $a=1$ en b = 0 {displaystyle b=0} $b=0$ . De vertaling wordt beschreven door b $b$ parameter en de dilatatie door een parameter.

Morlet wavelet

Vragen en antwoorden

V: Wat is een wavelet?

A: Een wavelet is een wiskundige functie die wordt gebruikt om een functie of signaal uit te schrijven in termen van andere functies die eenvoudiger te bestuderen zijn. Hij kan onder de lens worden bekeken met een vergroting die wordt gegeven door de schaal van de wavelet, zodat we alleen de informatie zien die wordt bepaald door de vorm ervan.

V: Wie heeft de term "wavelet" geïntroduceerd?

A: De Engelse term "wavelet" werd in het begin van de jaren 1980 geïntroduceerd door de Franse natuurkundigen Jean Morlet en Alex Grossman, die het Franse woord "ondelette" gebruikten (dat "kleine golf" betekent). Later werd dit woord in het Engels gebracht door "onde" te vertalen in "wave", wat ons "wavelet" opleverde.

V: Waaraan moet een wavelet voldoen voor praktische toepassingen?

A: Voor praktische toepassingen moet een wavelet eindige energie hebben en voldoen aan een ontvankelijkheidsvoorwaarde. Deze ontvankelijkheidsvoorwaarde stelt dat hij een gemiddelde van nul moet hebben en ook moet voldoen aan een integraal over de frequentie die kleiner is dan oneindig.

V: Wat wordt in verband met wavelets bedoeld met translatie en dilatatie?

A: Vertaling verwijst naar het verschuiven of verplaatsen van de moederwavelet langs de tijdas, terwijl dilatatie verwijst naar het schalen of uitrekken/krimpen van de moederwavelet langs de tijdas. Deze twee parameters (translatie en dilatatie) worden respectievelijk beschreven door b en a.

V: Wat betekent het dat een wavelet een nulgemiddelde heeft?

A: Nulgemiddelde houdt in dat bij integratie over alle waarden van t van negatief oneindig tot positief oneindig, de som gelijk moet zijn aan 0, d.w.z. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Deze eis volgt uit de ontvankelijkheidsvoorwaarde zelf, zoals hierboven vermeld.

V: Hoe worden moederwavelets gedefinieerd?

A: Moederwavelets worden gedefinieerd als genormaliseerde versies van vertaalde (verschoven) en gedilateerde (geschaalde) versies van oorspronkelijke moederwavelets met de parameters "a" = 1 & "b" = 0 .