Wavelet

Een Wavelet is een wiskundige functie die gebruikt wordt om een functie of signaal op te schrijven in termen van andere functies die eenvoudiger te bestuderen zijn. Veel signaalverwerkingstaken zijn te zien in termen van een wavelettransformatie. Informeel gezien is het signaal te zien onder de lens met een vergroting gegeven door de schaal van de wavelet. Daarbij kunnen we alleen de informatie zien die wordt bepaald door de vorm van de gebruikte wavelet.

De Engelse term "wavelet" werd begin jaren tachtig geïntroduceerd door de Franse natuurkundigen Jean Morlet en Alex Grossman. Zij gebruikten het Franse woord "ondelette" (wat "kleine golf" betekent). Later werd dit woord in het Engels gebracht door "onde" te vertalen naar "wave" wat "wavelet" betekent.

Wavelet is (complexe) functie van de Hilbert ruimte ψ L 2 ( R ) {\psi \psi in L^{2}(\mathbb {R}}} {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}. Voor praktische toepassingen moet het aan de volgende voorwaarden voldoen.

Het moet eindige energie hebben.

∫ - ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\\\an5} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Het moet voldoen aan een ontvankelijkheidsvoorwaarde.

∫ 0 | ψ | ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\\an5} {\psi }({\psi }}(|2}) \over... over... over... over... over... over... over... over... over... over... over... over... over... {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }...waar ψ een Fourier-transformatie {\displaystyle {\hat {\psi }}}is van ψ... {\displaystyle \psi \,}

Nul betekent dat de ontvankelijkheidsvoorwaarde niet van toepassing is.

∫ - ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\\\an5} ^ {\an5} {\\an5} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

De functie ψ {\displaystyle \psi \,}heet mother wavelet. De vertaalde (verschoven) en gedilateerde (geschaalde) genormaliseerde versies zijn als volgt gedefinieerd.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\a,b}(t)={frac {1}(sqrt {a})} {\\\psi {\an8} {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

De oorspronkelijke moederwavelet heeft de parameters a = 1 {\playstyle a=1} {\displaystyle a=1}en b = 0 {displaystyle b=0} {\displaystyle b=0}. De vertaling wordt beschreven door b {\displaystyle b}parameter en de dilatatie door een aparameter.

Morlet wavelet
Morlet wavelet


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3