Overzicht

De sinusregel, ook wel wet van de sinussen genoemd, is een fundamentele relatie in de trigonometrie voor driehoeken. Zij verbindt de lengtes van de zijden met de sinussen van de tegenoverliggende hoeken. In symbolen luidt de regel: a/sin A = b/sin B = c/sin C, en de gemeenschappelijke waarde is gelijk aan de diameter van de omgeschreven cirkel van de driehoek. Deze regel is een veelgebruikt hulpmiddel bij driehoeksmeting en bij het oplossen van niet‑rechthoekige driehoeken.

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!}

Formule en betekenis

Stel dat a, b en c de lengtes zijn van de zijden tegenover respectievelijk de hoeken A, B en C in een driehoek. De wet kan geschreven worden als

  • a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
waar R de straal van de omgeschreven cirkel is (dus 2R is de diameter). Een praktische vorm is bijvoorbeeld om een onbekende zijde b te berekenen als b = a·sin B / sin A wanneer a en twee hoeken bekend zijn.

Bewijs en afleiding

Er bestaan meerdere korte bewijzen. Een veelgebruikte afleiding gebruikt de omgeschreven cirkel: voor elk punt op die cirkel geldt dat een zijde van de driehoek gezien vanaf de middelpuntlijn een hoek heeft die gerelateerd is aan de boog; dat levert a = 2R·sin A. Door die relatie voor alle drie zijden te schrijven volgt direct a/sin A = 2R = b/sin B = c/sin C. Een ander bewijs kan via de oppervlakte van de driehoek lopen: de oppervlakte kan ook uitgedrukt worden als (1/2)·a·b·sin C, wat bij vergelijking met de andere permutaties dezelfde verhoudingen oplevert.

Toepassingen en voorbeelden

De sinusregel wordt toegepast wanneer bekend zijn: twee hoeken en een zijde (AAS of ASA) of twee zijden en een niet‑ingesloten hoek (SSA). Typische toepassingen zijn berekening van afstanden in de landmeetkunde, scheeps- en luchtnavigatie en oplossingen in de sferische varianten.

Werkwijze bij SSA (voorbeeldstappen):

  1. Bereken eerst sin van de onbekende hoek met sin X = (gegeven zijde)·sin(gegeven hoek) / (andere bekende zijde).
  2. Maak een keuze tussen de twee mogelijke hoeken met die sinuswaarde: X of 180°−X.
  3. Controleer met de som van de hoeken (A+B+C=180°) welke keuze een geldige driehoek oplevert; soms bestaat geen, één of twee oplossingen (dubbelzinnige geval).

Dubbelzinnige geval en numerieke aandachtspunten

Als bij SSA de berekende sinuswaarde tussen 0 en 1 ligt, zijn in principe twee hoeken mogelijk (een scherpe hoek en zijn supplement). Wanneer de sinuswaarde net dicht bij 0 of 1 ligt, kunnen afrondingsfouten en rekenkundige instabiliteit optreden, vooral bij hoeken nabij 90° of bij zeer kleine zijden. In praktijksituaties is het belangrijk geometrische constraints toe te passen (bijvoorbeeld lengte‑ en hoekgrenzen) om de juiste oplossing te selecteren.

Relatie met andere formules

De wet van de sinussen vult de wet van de cosinussen aan: de cosinusregel is nuttig om een zijde te vinden als twee zijden en de ingesloten hoek bekend zijn (SAS), terwijl de sinusregel vooral voor AAS en SSA gebruikt wordt. Voor verdere verdieping en voorbeelden zie algemene bronnen over de sinusregel en elementaire trigonometrie.

{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!}