Stelling (wiskunde)

Schrijver: Leandro Alegsa

17-12-2020

Een stelling is een bewezen idee in de wiskunde. Stellingen worden bewezen met behulp van logica en andere reeds bewezen stellingen. Een stelling die iemand moet bewijzen zodat hij/zij een andere stelling kan bewijzen wordt een lemma genoemd. Stellingen bestaan uit twee delen, er zijn hypothesen en conclusies.

Stellingen maken gebruik van deductie, in tegenstelling tot theorieën die empirisch zijn.

Sommige stellingen zijn triviaal, ze volgen direct uit de stellingen. Andere stellingen worden "diep" genoemd, hun bewijs is lang en moeilijk. Soms hebben dergelijke bewijzen betrekking op andere gebieden van de wiskunde of laten ze verbanden zien tussen verschillende gebieden. Een stelling kan eenvoudig te formuleren zijn en toch diep zijn. Een uitstekend voorbeeld is de Laatste Stelling van Fermat, en er zijn vele andere voorbeelden van eenvoudige maar diepe stellingen in onder andere de getaltheorie en de combinatoriek.

Er zijn andere stellingen waar een bewijs voor bekend is, maar het kan niet gemakkelijk worden opgeschreven. De beste voorbeelden zijn de vier kleurtheorieën en de Keplertheorie. Beide stellingen staan alleen bekend als waar door ze te herleiden tot een rekenkundige zoekopdracht die vervolgens door een computerprogramma wordt geverifieerd. Aanvankelijk accepteerden veel wiskundigen deze vorm van bewijs niet, maar het is de laatste jaren steeds meer geaccepteerd. De wiskundige Doron Zeilberger is zelfs zover gegaan om te beweren dat dit mogelijk de enige niet-triviale resultaten zijn die wiskundigen ooit hebben bewezen. Veel wiskundige stellingen kunnen gereduceerd worden tot meer eenvoudige berekeningen, inclusief polynomiale identiteiten, trigonometrische identiteiten en hypergeometrische identiteiten.

De stelling van Pythagoras heeft minstens 370 bekende bewijzen.

Boeken

Heide, Sir Thomas Little (1897), De werken van Archimedes, Dover, teruggevonden 2009-11-15
Hoffman, P. (1998). The Man Who Loved Only Numbers: Het verhaal van Paul Erdős en de zoektocht naar de wiskundige waarheid. Hyperion, New York.
Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Externe link in |title= (help)CS1 maint: meerdere namen: auteurslijst (link)

Vragen en antwoorden

V: Wat is een stelling?

A: Een stelling is een idee waarvan bewezen is dat het waar is in de wiskunde, met behulp van logica en andere stellingen die al bewezen zijn.

V: Wat is een lemma?

A: Een lemma is een kleine stelling die men moet bewijzen om een grote stelling te bewijzen.

V: Hoe zijn stellingen opgebouwd?

A: Stellingen bestaan uit twee delen - hypothesen en conclusies - en maken eerder gebruik van deductie dan van empirische theorieën.

V: Zijn alle stellingen moeilijk te bewijzen?

A: Nee, sommige stellingen zijn triviaal omdat zij rechtstreeks voortvloeien uit stellingen, terwijl voor andere lange en moeilijke bewijzen nodig zijn die andere gebieden van de wiskunde betreffen of verbanden tussen verschillende gebieden aantonen.

V: Kan een stelling eenvoudig en toch diepgaand zijn?

A: Ja, een voorbeeld hiervan is de laatste stelling van Fermat, die eenvoudig te stellen is, maar waarvan het bewijs lang en moeilijk is.

V: Zijn er stellingen waarvan een bewijs bekend is, maar die niet gemakkelijk kunnen worden opgeschreven?

A: Ja, voorbeelden zijn de stelling van de vier kleuren en het vermoeden van Kepler, die alleen kunnen worden geverifieerd door ze door computerprogramma's te halen.

V: Kunnen wiskundige stellingen soms worden gereduceerd tot eenvoudigere berekeningen?

A: Ja, wiskundige stellingen kunnen soms worden herleid tot eenvoudigere berekeningen, zoals polynomiale identiteiten, goniometrische identiteiten of hypergeometrische identiteiten.