Lorentzfactor (γ): definitie, formule en effect op tijd, lengte en massa
Lorentzfactor (γ): begrijp de definitie, formule en hoe relativistische snelheden tijdsdilatatie, lengtekorting en massa beïnvloeden — helder uitgelegd met voorbeelden.
De Lorentz-factor is de factor waarmee tijd, lengte en massa veranderen voor een object dat beweegt met snelheden die dicht bij de lichtsnelheid liggen (relativistische snelheden).
De vergelijking is:
γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\\frac {\frac {1} {\frac {v}{c})^2}}}}} 
waarbij v de snelheid van het object is en c de snelheid van het licht. De hoeveelheid (v/c) wordt vaak aangeduid met β. 
(bèta) en dus kan bovenstaande vergelijking worden herschreven:
Formule in termen van β
Met β = v/c geldt simpelweg:
- γ = 1 / √(1 − β²)
Deze vorm maakt duidelijk dat γ alleen afhangt van de fractie van de lichtsnelheid waarmee iets beweegt.
Wat betekent γ concreet?
- Tijdsdilatatie: een klok die beweegt met snelheid v ten opzichte van een waarnemer loopt langzamer volgens die waarnemer. Als Δt0 de eigen-tijd (tijd gemeten in het bewegende object) is, dan is de waargenomen tijdsinterval Δt = γ Δt0.
- Lengtecontractie: een object dat in de bewegingsrichting beweegt verschijnt korter voor een externe waarnemer. Als L0 de rustlengte is, dan is de lengte gemeten door de waarnemer L = L0 / γ.
- Massa (historisch): vroeger sprak men van een relativistische massa m = γ m0 die toenam met snelheid. In moderne relativiteitstheorie gebruikt men meestal de invariantie van de rustmassa m0 en verwerkt men γ in energie en impuls (zie hieronder).
Energie en impuls
- Totaalenergie: E = γ m0 c². Voor een stilstaand object (v = 0) geeft dit de rustenergie E0 = m0 c².
- Impuls: p = γ m0 v. Samen voldoen E en p aan de invariant-relatie E² = (m0 c²)² + (pc)².
Limieten en numerieke voorbeelden
Wanneer v ≪ c (β ≪ 1) nadert γ → 1 en verdwijnen relativistische effecten. Wanneer v → c nadert γ naar oneindig, wat aangeeft dat het veel energie kost om de snelheid verder naar c te brengen.
Enkele voorbeelden van γ voor veelgebruikte snelheden:
- v = 0,5 c → γ ≈ 1,1547
- v = 0,9 c → γ ≈ 2,294
- v = 0,99 c → γ ≈ 7,09
- v = 0,999 c → γ ≈ 22,37
Benadering voor lage snelheden
Voor kleine β kun je γ benaderen met een machtreeks:
- γ ≈ 1 + 1/2 β² + 3/8 β⁴ + …
Dit laat zien dat eerste orde in β geen veranderingen geeft (geen lineair effect), en dat relativistische effecten pas merkbaar worden bij β²-orde en hoger.
Intuïtieve toelichting
De Lorentz-factor komt voort uit de Lorentz-transformaties die ruimte en tijd combineren in één vierdimensionale ruimtetijd. Tijdsdilatatie en lengtecontractie zijn geen “mechanische” vervormingen van klokken of linialen, maar gevolg van het feit dat waarnemers in relatieve beweging verschillende sneden door die vierdimensionale ruimtetijd maken en dus andere ruimtetijd-afstanden tussen gebeurtenissen meten.
Waarop letten
- γ is altijd ≥ 1.
- γ is symmetrisch in snelheid: alleen de grootte van v telt (richting niet), omdat β² in de formule staat.
- De snelheid c is een limiet: geen materieel object met rustmassa kan c bereiken volgens speciale relativiteit.
Voor dieper begrip zijn verdere onderwerpen interessant, zoals de afleiding van de Lorentz-factor uit postulaat van constante lichtsnelheid, volledige Lorentz-transformaties, en toepassingen in deeltjesfysica en GPS-correcties in de praktijk.
Klassieke relativiteit
Klassieke relativiteit is het idee dat als je een bal gooit bij 50 mph terwijl je loopt bij 5 mph, de bal 55 mph aflegt. Natuurlijk, de bal beweegt nog steeds van je af bij 50 mph, dus als men het je vraagt, zag je de bal 50 mph reizen. Intussen zag je vriend Rory dat je toevallig met 5 mph liep. Hij zou zeggen dat de bal 55 mijl per uur reed. Jullie hebben allebei gelijk. Jullie bewogen toevallig met de bal.
De snelheid van het licht, c, is 670.616.629 mph. Dus als je in een auto zit die met de helft van de lichtsnelheid rijdt (0,5c) en je zet je koplampen aan, dan beweegt het licht van je af met 1 c... of is het 1,5 c? Het eindigt dat c c is, wat er ook gebeurt. In de volgende paragraaf wordt uitgelegd waarom het niet c - 0,5c is.
Tijddilatatie
Als een klok in beweging is, tikt hij langzamer met een kleine factor van γ... 
. De beroemde tweelingparadox zegt dat als er twee tweelingen waren en tweeling A bleef op aarde terwijl tweeling B een paar jaar in de buurt van c reisde, toen tweeling B weer op aarde kwam, hij vele jaren jonger zou zijn dan tweeling A (omdat hij minder tijd had). Bijvoorbeeld, als tweeling B vertrok toen hij 20 was en 10 jaar lang om .9c reisde, dan zou tweeling B 30 zijn (20 jaar + 10 jaar) en tweeling A zou bijna 43 zijn als hij terug op aarde kwam:
20 + ( 10 ∗ 1 1 - . 9 2 ) = 42.9416 {\\frac { 10*{frac {1}{\frt {1-.9^{2}}}})=42.9416} 
Twin B zou het niet merken dat de tijd helemaal vertraagd was. Als hij uit een raam keek, zou het voor hem lijken alsof het universum langs hem heen bewoog, en daarom langzamer was (denk eraan, voor hem is hij in rust). Dus de tijd is relatief.
Lengte inkrimping
Dingen worden korter in de richting van de beweging als ze met relativistische snelheid reizen. Tijdens de reis van tweeling B zou hij iets vreemds opmerken aan het universum. Hij zou merken dat het korter werd (gecontracteerd in de richting van zijn beweging). En de factor waardoor de dingen korter worden is γ... .
Relativistische massa
Relativistische massa neemt ook toe. Het maakt ze moeilijker te duwen. Dus tegen de tijd dat je 0,9999c bereikt, heb je een zeer grote kracht nodig om sneller te gaan. Dit maakt het onmogelijk om de snelheid van het licht te bereiken.
Toch, als je wat langzamer reist, zeg maar 90% van de lichtsnelheid, groeit je massa maar 2,3 keer. Dus, terwijl het misschien onmogelijk is om de snelheid van het licht te bereiken, kan het nog steeds mogelijk zijn om er dicht bij te komen-dat is, als je genoeg brandstof hebt.
Vragen en antwoorden
V: Wat is de Lorentz-factor?
Antwoord: De Lorentz-coëfficiënt is de coëfficiënt waarmee tijd, lengte en massa veranderen bij relativistische snelheid (dicht bij de lichtsnelheid) voor een object dat beweegt.
V: Naar wie is het genoemd?
Antwoord: De Lorentz-factor is genoemd naar de Nederlandse natuurkundige Hendrik Lorentz.
V: Welke vergelijking beschrijft de Lorentz-factor?
Antwoord: De vergelijking voor de Lorentz-factor is gamma = 1/(sqrt(1-(v/c)^2)), waarbij v de snelheid van het voorwerp is en c de lichtsnelheid.
V: Wat betekent (v/c) in deze vergelijking?
Antwoord: In deze vergelijking staat (v/c) voor bèta, de verhouding tussen de snelheid van het voorwerp en de lichtsnelheid.
V: Hoe kan deze vergelijking worden herschreven?
Antwoord: We kunnen deze vergelijking herschrijven als gamma = 1/(sqrt(1-beta^2)).
Zoek in de encyclopedie