Multicriteria-optimalisatie of multiobjectieve optimalisatie is een manier om een wiskundig of economisch probleem op te lossen waarbij verschillende doelstellingen (of parameters) tegelijk moeten worden afgewogen. In plaats van één enkele optimale oplossing te zoeken, levert zo'n probleem vaak een reeks oplossingen op waarbij geen enkele oplossing op alle doelen tegelijk te verbeteren is zonder op ten minste één doel in te leveren. Het resultaat van zo'n analyse wordt meestal aangeduid met Pareto-efficiëntie, genoemd naar de econoom Vilfredo Pareto, die het concept introduceerde in studies over inkomensverdeling en efficiëntie.

Formele definitie en begrippen

Een oplossingsvector x wordt Pareto-efficiënt (of Pareto-optimaal) genoemd als er geen andere mogelijke oplossingsvector y bestaat die ten minste even goed is op alle doelstellingen en strikt beter op ten minste één doelstelling. Meer formeel, voor een minimaliseringsprobleem met doelstellingen f1,...,fk geldt dat x Pareto-dominant is over y als:

  • fi(y) ≤ fi(x) voor alle i en
  • fi(y) < fi(x) voor minstens één i.

Als er geen y bestaat dat x Pareto-dominant maakt, is x Pareto-optimaal. Voor maximaliseringsproblemen wordt de ongelijkheid in de omgekeerde richting gelezen.

Pareto-frontier en productie-mogelijkheden

De verzameling van alle Pareto-efficiënte oplossingen wordt vaak de Pareto-frontier of het Pareto-front genoemd. In eenvoudige tweedoelstellingenystemen kun je dit goed visualiseren als een kromme in een tweedimensionale grafiek: elk punt op de kromme is efficiënt; punten onder of links van de kromme zijn te verbeteren (gedomineerd), punten buiten het bereik zijn onbereikbaar.

In de economische literatuur komt dit terug als de Production Possibility Frontier (PPF) of productiemogelijkhedengrens: een economie staat op de PPF als zij met de beschikbare middelen (bijvoorbeeld machines, arbeid, land en ideeën) zoveel produceert als mogelijk is. Als de economie op de PPF produceert, betekent het produceren van meer van het ene goed dat er minder van het andere gemaakt kan worden — er is sprake van een trade-off tussen producten.

Voorbeelden en toepassingen

  • Verdeling van goederen tussen personen: Een allocatie is Pareto-efficiënt als niemand beter gemaakt kan worden zonder iemand anders slechter af te maken. Dit betekent niet per se dat de verdeling eerlijk is (zie verderop).
  • Engineering en ontwerp: Bij het ontwerpen van een vliegtuig zijn vaak meerdere doelen relevant, zoals gewicht, sterkte, brandstofverbruik en kosten. De Pareto-frontier geeft de beste compromisontwerpen.
  • Portfolio-optimalisatie: Beleggers wegen rendement tegen risico. De efficiënte grens (efficient frontier) toont portefeuilles met maximaal rendement voor een gegeven risico.
  • Milieu- en beleidskeuzes: Beleidmakers wegen economische productie tegen milieuschade of uitstoot. Pareto-optimaliteit beschrijft hier de beste mogelijke trade-offs.

Belangrijke nuances

  • Pareto-efficiënt is niet hetzelfde als rechtvaardig: Een situatie kan efficiënt maar zeer ongelijk zijn — bijvoorbeeld als één persoon alle middelen bezit. Hoewel er dan geen Pareto-verbetering mogelijk is zonder iemand slechter te maken, kan de uitkomst als onrechtvaardig worden ervaren.
  • Pareto-verbetering: Een verandering die ten minste één persoon beter maakt en niemand slechter maakt wordt een Pareto-verbetering genoemd. Een reeks Pareto-verbeteringen kan soms leiden van een inefficiënte naar een efficiënte toestand.
  • Zwakkere en sterkere vormen: Er bestaat ook het begrip zwakke Pareto-optimaliteit (geen oplossing bestaat die strikt in alle doelstellingen beter is) en het sterke begrip hierboven genoemd waarbij verbetering in ten minste één doelstelling vereist is zonder verslechtering elders.
  • Convexiteit: In veel analytische benaderingen wordt aangenomen dat het doelgebied convex is. Bij convexiteit is elke gewogen sommatie van twee efficiënte oplossingen zelf ook efficiënt (onder bepaalde voorwaarden), en gewogen som-methoden kunnen het volledige Pareto-front genereren. Zonder convexiteit kunnen sommige pareto-efficiënte oplossingen echter niet worden gevonden met eenvoudige gewogen som-scalarisaties.

Multicriteria-methoden en algoritmen

Om de Pareto-frontier te vinden bestaan er verschillende methoden:

  • Gewogen som (scalarisatie): Doelen worden gecombineerd met gewichten; door de gewichten te varieren vind je verschillende punten op het front (werkt vooral goed bij convexe problemen).
  • Epsilon-constraint: Eén doel wordt geoptimaliseerd terwijl de overige doelen als beperkingen met grenswaarden worden ingesteld; door deze grenzen te variëren krijg je meerdere efficiënte oplossingen.
  • Multi-objectieve evolutionaire algoritmen (MOEAs): Algoritmen zoals NSGA-II, SPEA2 en andere heuristieken vinden een verzameling oplossingen die de Pareto-frontier benaderen, nuttig bij niet-lineaire, niet-convexe of discrete problemen.
  • Exacte methoden en nadere optimalisatietechnieken: Voor sommige problemen bestaan gespecialiseerde convex-optimalisatie- of branch-and-bound-technieken om de pareto-oplossingen te genereren of te verifiëren.

In de praktijk wordt vaak gekozen voor een benadering van de Pareto-frontier (een representatieve set van oplossingen), omdat het vinden van de volledige exacte frontier bij complexe problemen rekenkundig zeer belastend kan zijn, zeker bij veel doelstellingen (zogenaamde many-objective problems).

Praktische gevolgen en besluitvorming

Pareto-analyse helpt besluitvormers inzicht te krijgen in mogelijke trade-offs en welke verbeteringen technisch haalbaar zijn zonder slachtoffers te maken. Het laat niet zien welke van de Pareto-efficiënte oplossingen moreel wenselijk of politiek haalbaar is; daarvoor zijn extra criteria nodig, zoals gelijkheid, duurzaamheid of politieke haalbaarheid. Om tot een uiteindelijke keuze te komen, gebruiken beleidsmakers en planners vaak aanvullende sociale welvaartsfuncties, verdelingsregels of participatieve processen.

Samenvattend: Pareto-efficiëntie is een krachtig concept voor het beschrijven van optimale compromissen bij meerdere doelen. Het identificeert grenzen aan wat mogelijk is met gegeven middelen en helpt bij het structureren van keuzes, maar zegt op zichzelf niets over eerlijkheid of wenselijkheid van een bepaalde uitkomst.

Originele kernbegrippen in dit artikel: parameters, Vilfredo Pareto, machines, arbeid, land, ideeën en productiefactoren.