Vermoeden van Poincaré
De Poincaré Conjecture is een vraag over sferen in de wiskunde. Het is vernoemd naar Henri Poincaré, de Franse wis- en natuurkundige die het in 1904 formuleerde.
De bol (ook wel de 2-sphere genoemd, omdat het een 2-dimensionaal oppervlak is, hoewel het meestal gezien wordt als binnen een driedimensionale ruimte) heeft de eigenschap dat elke lus op de bol tot een punt kan worden samengetrokken (als er een elastiekje om de bol gewikkeld is, is het mogelijk om het naar beneden te schuiven tot een punt). Wiskundigen zeggen dat de 2-sphere eenvoudigweg verbonden is. Andere ruimtes hebben deze eigenschap niet, bijvoorbeeld de donut: een elastiekje dat eenmaal om de hele donut heen gaat kan niet naar beneden worden geschoven tot een punt zonder dat het de oppervlakte verlaat.
Wiskundigen wisten dat deze eigenschap uniek was voor de 2-sphere, in de zin dat elke andere eenvoudigweg verbonden ruimte die geen randen heeft en klein genoeg is (in wiskundige termen, dat is compact) in feite de 2-sphere is. Het is echter niet langer waar als we het idee van kleinheid wegnemen, want een oneindig groot vlak is ook eenvoudigweg verbonden. Ook een gewone schijf (een cirkel en zijn binnenste) is gewoon verbonden, maar heeft een rand (de begrenzende cirkel).
De vraag is of dit ook geldt voor de 3-sphere, een object dat van nature in vier dimensies leeft. Deze vraag motiveerde veel van de moderne wiskunde, vooral op het gebied van de topologie. De vraag werd uiteindelijk in 2002 beantwoord door Grigori Perelman, een Russische wiskundige, met methoden uit de geometrie, waaruit blijkt dat het inderdaad waar is. Hij kreeg een Fields Medal en de Millenniumprijs van 1 miljoen dollar voor zijn werk, die hij beide afwees.
De Poincaré gok kan ook uitgebreid worden naar hogere dimensies: dit is de veralgemeende Poincaré gok. Verrassend genoeg was het gemakkelijker om het feit te bewijzen voor hogere dimensies: in 1960 bewees Smale dat het waar was voor de 5-sphere, 6-sphere en hoger. In 1982 bewees Freedman dat het ook waar was voor de 4-sphere, waarvoor hij een Fields Medal kreeg.
Vragen en antwoorden
V: Wat is de Poincaré-conjectie?
A: De Poincaré-conjectuur is een vraag over bollen in de wiskunde, genoemd naar Henri Poincaré, die vraagt of bepaalde eigenschappen van de 2-bol ook waar zijn voor de 3-bol.
Vraag: Welke eigenschap heeft de 2-bol?
A: De 2-bol heeft de eigenschap dat elke lus erop kan worden samengetrokken tot een punt.
V: Is deze eigenschap uniek voor de 2-sfeer?
A: Deze eigenschap is uniek voor de 2-bol wat betreft kleine ruimten die geen randen hebben. Een oneindig groot vlak en een regelmatige schijf (een cirkel en zijn binnenste) zijn echter beide eenvoudig verbonden, maar hebben wel randen.
V: Wie bewees dat het waar was voor hoger dimensionale sferen?
A: In 1960 bewees Smale dat het waar was voor 5-bollen, 6-bollen en hoger, en in 1982 bewees Freedman dat het ook waar was voor 4-dimensionale bollen.
V: Wie heeft de conjectuur van Poincaré opgelost?
A: Het Poincaré-conject werd opgelost door Grigori Perelman, een Russische wiskundige die methoden uit de meetkunde gebruikte om aan te tonen dat het inderdaad waar is.
V: Welke prijzen ontving Perelman voor zijn werk?
A: Perelman ontving een Fields Medal en een Millenniumprijs van 1 miljoen dollar voor zijn werk aan de oplossing van het Poincaré-conject, maar hij weigerde beide prijzen.
