Vermoeden van Poincaré

De Poincaré Conjecture is een vraag over sferen in de wiskunde. Het is vernoemd naar Henri Poincaré, de Franse wis- en natuurkundige die het in 1904 formuleerde.

De bol (ook wel de 2-sphere genoemd, omdat het een 2-dimensionaal oppervlak is, hoewel het meestal gezien wordt als binnen een driedimensionale ruimte) heeft de eigenschap dat elke lus op de bol tot een punt kan worden samengetrokken (als er een elastiekje om de bol gewikkeld is, is het mogelijk om het naar beneden te schuiven tot een punt). Wiskundigen zeggen dat de 2-sphere eenvoudigweg verbonden is. Andere ruimtes hebben deze eigenschap niet, bijvoorbeeld de donut: een elastiekje dat eenmaal om de hele donut heen gaat kan niet naar beneden worden geschoven tot een punt zonder dat het de oppervlakte verlaat.

Wiskundigen wisten dat deze eigenschap uniek was voor de 2-sphere, in de zin dat elke andere eenvoudigweg verbonden ruimte die geen randen heeft en klein genoeg is (in wiskundige termen, dat is compact) in feite de 2-sphere is. Het is echter niet langer waar als we het idee van kleinheid wegnemen, want een oneindig groot vlak is ook eenvoudigweg verbonden. Ook een gewone schijf (een cirkel en zijn binnenste) is gewoon verbonden, maar heeft een rand (de begrenzende cirkel).

De vraag is of dit ook geldt voor de 3-sphere, een object dat van nature in vier dimensies leeft. Deze vraag motiveerde veel van de moderne wiskunde, vooral op het gebied van de topologie. De vraag werd uiteindelijk in 2002 beantwoord door Grigori Perelman, een Russische wiskundige, met methoden uit de geometrie, waaruit blijkt dat het inderdaad waar is. Hij kreeg een Fields Medal en de Millenniumprijs van 1 miljoen dollar voor zijn werk, die hij beide afwees.

De Poincaré gok kan ook uitgebreid worden naar hogere dimensies: dit is de veralgemeende Poincaré gok. Verrassend genoeg was het gemakkelijker om het feit te bewijzen voor hogere dimensies: in 1960 bewees Smale dat het waar was voor de 5-sphere, 6-sphere en hoger. In 1982 bewees Freedman dat het ook waar was voor de 4-sphere, waarvoor hij een Fields Medal kreeg.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3