Rij (wiskunde)

Een sequentie is een woord dat "een reeks gerelateerde gebeurtenissen, bewegingen of items die elkaar in een bepaalde volgorde opvolgen" betekent.

Het wordt gebruikt in de wiskunde en andere disciplines. In gewoon gebruik betekent het een reeks gebeurtenissen die elkaar opvolgen. In de wiskunde bestaat een reeks uit verschillende dingen achter elkaar. De volgorde waarin de dingen zich bevinden is van belang. Bijvoorbeeld, zowel (Blauw, Rood, Geel) als (Geel, Blauw, Rood) zijn reeksen, maar ze zijn niet hetzelfde. Opeenvolgingen van getallen worden ook wel progressies genoemd.

Er zijn twee soorten reeksen. De ene soort is eindige reeksen, die een einde hebben. Bijvoorbeeld, (1, 2, 3, 4, 5) is een eindige reeks. De andere soort zijn oneindige reeksen, wat betekent dat ze doorgaan en nooit eindigen. Een voorbeeld van een oneindige reeks is de reeks van alle even getallen, groter dan 0. Deze reeks eindigt nooit: ze begint met 2, 4, 6, enzovoort, en men kan altijd even getallen blijven noemen.

Als een reeks eindig is, is het gemakkelijk te zeggen wat ze is: men kan gewoon alle dingen in de reeks opschrijven. Dit werkt niet voor een oneindige reeks. Dus een andere manier om een rij op te schrijven is een regel te schrijven voor het vinden van het ding op elke gewenste plaats. De regel moet ons vertellen hoe we het ding op de n-de plaats krijgen, waarbij n een willekeurig natuurlijk getal kan zijn. Dit betekent dat een rij eigenlijk een speciaal soort functie is met natuurlijke getallen als domein. We schrijven een reeks soms als ( a n ) {a_{n})}. $(a_{n})$ waarbij a n {{n}} $a_{n}$ staat voor de n-de term van de reeks.

De regel zou bijvoorbeeld kunnen zijn dat het ding op de n-de plaats het getal 2×n (2 keer n) is. Dit vertelt ons wat de hele reeks is, ook al eindigt hij nooit. Het eerste getal is 2×1, dat is 2. Het tweede getal is 2×2, oftewel 4. Als we willen weten wat het 100e getal is, kunnen we gewoon 2×100 berekenen en 200 krijgen. Welk ding in de reeks wij ook willen, de regel kan ons vertellen wat het is.

Soorten sequenties

Rekenkundige vooruitgang (AP)

In een rekenkundige rij is het verschil tussen een term en de term ervoor altijd een constante.

Voorbeeld: $4,9,14,19,24,29,34,\ldots$

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5, enzovoort.

Dus als men de eerste term neemt als a en het constante verschil als D, dan is de algemene formule voor een rekenkundige reeks $a_{n}=a+(n-1)D$ , waarbij n het aantal term is.

Geometrische progressies (GP)

In een meetkundige rij is de verhouding tussen een term en de term ervoor altijd constant.

Voorbeeld: $3,6,12,24,48,96,192,\ldots$

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2, enzovoort.

Dus als men a neemt als de eerste term en r als de verhouding, dan is de algemene formule voor meetkundige progressie $a_{n}=ar^{n-1}$ waarbij n het aantal termen is.

Harmonische progressies (HP)

In een harmonische progressie is het verschil tussen de reciproke van een term en de reciproke van de term ervoor een constante.

Voorbeeld: $3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots$

$(1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}$ enzovoort.

Serie

Een reeks is de som van alle termen van een reeks.

De algemene formule voor het berekenen van de som van een rekenkundige reeks is

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

Die van een geometrische reeks is $S={\tfrac {a}{1-r}}$ , als de rij oneindig is, en $S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ als deze eindig is.

Hierbij is a de eerste term, d het gemeenschappelijk verschil in de rekenkundige reeks, r de verhouding in de meetkundige reeks en n het aantal termen.

Gerelateerde pagina's

Cauchy-reeks
Limiet van een reeks
Serie

Vragen en antwoorden

V: Wat is een reeks?

A: Een reeks gerelateerde gebeurtenissen, bewegingen of items die elkaar in een bepaalde volgorde opvolgen.

V: Hoe wordt het gebruikt?

A: Het wordt gebruikt in de wiskunde en andere disciplines. In gewoon gebruik betekent het een reeks gebeurtenissen die elkaar opvolgen.

V: Wat zijn twee soorten reeksen?

A: De twee soorten reeksen zijn eindige reeksen, die een einde hebben, en oneindige reeksen, die nooit eindigen.

V: Kunt u een voorbeeld geven van een oneindige reeks?

A: Een voorbeeld van een oneindige reeks is de reeks van alle even getallen groter dan 0. Deze reeks eindigt nooit; hij begint met 2, 4, 6 enzovoort.

V: Hoe kunnen wij een oneindige reeks opschrijven?

Antwoord: Wij kunnen een oneindige reeks opschrijven door een regel op te schrijven waarmee het ding op elke gewenste plaats kan worden gevonden. De regel moet ons vertellen hoe we het ding op de n-de plaats krijgen, waarbij n een willekeurig natuurlijk getal kan zijn.

V: Wat betekent (a_n) bij het opschrijven van een reeks?

A: (a_n) staat voor de n-de term van de rij.