Gecombineerd gasrecht

De gecombineerde gaswet is een formule over idealegassen. Het komt voort uit het samenvoegen van drie verschillende wetten over de druk, het volume en de temperatuur van het gas. Ze verklaren wat er gebeurt met twee van de waarden van dat gas terwijl de derde hetzelfde blijft. De drie wetten zijn:

  • Charles' wet, die zegt dat volume en temperatuur recht evenredig zijn aan elkaar zolang de druk gelijk blijft.
  • De wet van Boyle zegt dat druk en volume omgekeerd evenredig zijn aan elkaar bij dezelfde temperatuur.
  • De wet van Gay-Lussac zegt dat temperatuur en druk recht evenredig zijn zolang het volume gelijk blijft.

De gecombineerde gaswet laat zien hoe de drie variabelen zich tot elkaar verhouden. Het zegt dat:

De formule van de gecombineerde gaswet is:

P V T = k {\\frac {PV}{T}=k} {\displaystyle \qquad {\frac {PV}{T}}=k}

waar:

P is de druk

V is het volume

T is de temperatuur gemeten in kelvin

k is een constante (met eenheden energie gedeeld door de temperatuur).

Om hetzelfde gas te vergelijken met twee van deze gevallen, kan de wet worden geschreven als:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2 {\frac {P_{1}V_{1}}={T_{1}}={P_{2}V_{2}}{T_{2}COPY0} {\displaystyle \qquad {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}}

Door de wet van Avogadro toe te voegen aan de gecombineerde gaswet, krijgen we de zogenaamde ideale gaswet.


Afleiding van de gaswetten

De wet van Boyle stelt dat het drukvolume van het product constant is:

P V = k 1 ( 1 ) {\\\\qquad (1)} {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

De wet van Charles laat zien dat het volume in verhouding staat tot de absolute temperatuur:

V T = k 2 ( 2 ) {\frac {T}}=k_qquad (2)} {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

De wet van Gay-Lussac zegt dat de druk evenredig is met de absolute temperatuur:

P = k 3 T ( 3 ) {\playstyle P=k_{3}T\qquad (3)} {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

waarbij P de druk is, V het volume en T de absolute temperatuur van een ideaal gas.

Door (1) te combineren met (2) of (3) kunnen we een nieuwe vergelijking krijgen met P, V en T. Als we vergelijking (1) delen door de temperatuur en vergelijking (2) vermenigvuldigen met de druk die we krijgen:

P V T = k 1 ( T ) T {\frac {PV}{T}={frac {k_1}(T)}} {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\frac {PV}{T}}=k_2}(P)P} {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P}.

Aangezien de linkerzijde van beide vergelijkingen hetzelfde is, komen we uit op

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\frac {k_1}(T)}{T}}=k_2}(P)P} {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P},

wat betekent dat

P V T = constante weergavestijl... {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}}.

Vervanging in de Wet van Avogadro levert de ideale gasvergelijking op.

Fysieke afleiding

Een afleiding van de gecombineerde gaswet met alleen elementaire algebra kan verrassingen bevatten. Bijvoorbeeld, uitgaande van de drie empirische wetten

P = k V V T! P=k_V_,T\,T,\! } {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\!}          (1) Gay-Lussac's Wet, volume wordt constant verondersteld

V = k P T T = k k=k_T,\,\! } {\displaystyle V=k_{P}T\,\!}          (2) De wet van Charles, de druk nam constant aan...

P V = k T Tdisplaystyle PV = k_T,\,\! } {\displaystyle PV=k_{T}\,\!}          (3) Boyle's Wet, temperatuur verondersteld constant te zijn.

Waar kV, kP en kT de constanten zijn, kan men de drie samen vermenigvuldigen om te verkrijgen

P V P V = k V T k P T k T T T Tk,\,\! } {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!}

Het nemen van de vierkantswortel van beide zijden en het delen door T lijkt het gewenste resultaat op te leveren.

P V T = k P k V k T {\frac {PV}{T}= {k_k_k_K_K_T}==! } {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}\,\!}

Als men echter, alvorens de bovenstaande procedure toe te passen, slechts de voorwaarden in de Wet van Boyle, kT = PV, herschikt, dan verkrijgt men na annulering en herschikking

k T k V k P = T 2 {\frac {k_{T}}{k_{V}k__P}=T^2}! } {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\!}

wat niet erg behulpzaam is, zo niet misleidend.

Een fysieke afleiding, langer maar betrouwbaarder, begint met het besef dat de constante volumeparameter in de wet van Gay-Lussac zal veranderen naarmate het systeemvolume verandert. Bij constant volume kan V1 de wet P = k1T verschijnen, terwijl bij constant volume V2 P = k2T kan verschijnen. Door deze "variabele constant volume" aan te duiden met kV(V), wordt de wet herschreven als

P = k V ( V ) T {\playstyle P=k_(V){\an5}, T {\an5}! }           {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\!}(4)

Dezelfde overweging geldt voor de constante in de wet van Karel, die kan worden herschreven

V = k P ( P ) T {\playstyle V=k_(P){\an5}, T {\an5}! }           {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\!}(5)

Bij het zoeken naar kV(V) moet men niet ondoordacht T tussen (4) en (5) elimineren, aangezien P in het eerste varieert terwijl het in het tweede constant wordt verondersteld. Eerder moet eerst worden bepaald in welke zin deze vergelijkingen met elkaar verenigbaar zijn. Om hier inzicht in te krijgen, dient men zich te realiseren dat eventuele twee variabelen de derde bepalen. Door P en V als onafhankelijk te kiezen, stellen we ons de T-waarden voor die een oppervlak boven het PV-vlak vormen. Een bepaalde V0 en P0 definiëren een T0, een punt op dat oppervlak. Het vervangen van deze waarden in (4) en (5), en het herschikken van de opbrengsten

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\frac {P_{0}}}{k_{V}(V_0})}{k_{0}}}{quad en T_0}={V_{0}}}{k_{P}(P_0})}} {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}

Aangezien deze beide beschrijven wat er op hetzelfde punt van het oppervlak gebeurt, kunnen de twee numerieke uitdrukkingen worden gelijkgesteld en herschikt

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\frac {k_{V}(V_0})}{k_{P}(P_0})}={k_(P_0}){V_0}}! }           {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}\,\!}(6)

Merk op dat 1/kV(V0) en 1/kP(P0) de hellingen zijn van orthogonale lijnen evenwijdig aan de P-as/V-as en door dat punt op het oppervlak boven het PV-vlak. De verhouding van de hellingen van deze twee lijnen hangt alleen af van de waarde van P0/V0 op dat punt.

Merk op dat de functionele vorm van (6) niet afhankelijk was van het gekozen punt. Dezelfde formule zou zijn ontstaan voor elke andere combinatie van P- en V-waarden. Daarom kan men schrijven

k V ( V ) k P ( P ) = P V P , V {\frac {k_{V}(V)}={k_(P)}={k_(P)}={k_(V}) \frac {P}{V} {\frac } {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V}(7)

Dit zegt dat elk punt op het oppervlak zijn eigen paar orthogonale lijnen heeft, met hun hellingsgraad alleen afhankelijk van dat punt. Terwijl (6) een relatie is tussen specifieke hellingen en variabele waarden, is (7) een relatie tussen hellingsfuncties en functievariabelen. Het geldt voor elk punt op het oppervlak, d.w.z. voor alle combinaties van P- en V-waarden. Om deze vergelijking voor de functie kV(V) op te lossen, moet je eerst de variabelen V links en P rechts scheiden.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\\,k_(V)=P\,k_(P)} {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Kies een willekeurige druk P1. De rechterzijde evalueert naar een willekeurige waarde, noem het karb.

V k V ( V ) = k arb {\\\,k_(V)=k_(V)=k_(tekst) \,\! }           {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\!}(8)

Deze specifieke vergelijking moet nu gelden, niet voor één waarde van V, maar voor alle waarden van V. De enige definitie van kV(V) die dit garandeert voor alle V en willekeurige karb is

k V ( V ) = k arb V {\playstyle k_{V}(V)} ={frac {k_{tekst{arb}}}{V}} {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}}(9)

die kunnen worden gecontroleerd door vervanging in (8).

Ten slotte leidt het vervangen van (9) in de wet van Gay-Lussac (4) en het herschikken tot de gecombineerde gaswet.

P V T = k arb {\frac {PV}{T}=k_tekst {arb}! } {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\!}

Merk op dat hoewel de wet van Boyle niet werd gebruikt in deze afleiding, het is gemakkelijk af te leiden uit het resultaat. Over het algemeen zijn twee van de drie startwetten alles wat nodig is in dit type afleiding - alle startparen leiden tot dezelfde gecombineerde gaswet.


Toepassingen

De gecombineerde gaswet kan worden gebruikt om de mechanica te verklaren waar druk, temperatuur en volume worden beïnvloed. Bijvoorbeeld: airconditioners, koelkasten en de vorming van wolken en ook gebruik in de vloeistofmechanica en de thermodynamica.

Gerelateerde pagina's

  • Dalton's recht

AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3