Gecombineerd gasrecht | formule over ideale gassen

De Wet van Boyle stelt dat het product druk-volume constant is:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}qquad (1)}

De Wet van Charles toont aan dat het volume evenredig is met de absolute temperatuur:

V T = k 2 ( 2 ) {\frac {V}{T}}=k_{2}qquad (2)}

De Wet van Gay-Lussac zegt dat de druk evenredig is met de absolute temperatuur:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

waarbij P de druk is, V het volume en T de absolute temperatuur van een ideaal gas.

Door (1) te combineren met (2) of (3) krijgen we een nieuwe vergelijking met P, V en T. Als we vergelijking (1) delen door de temperatuur en vergelijking (2) vermenigvuldigen met de druk, krijgen we:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}

P V T = k 2 ( P ) P {displaystyle {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Aangezien het linkerdeel van beide vergelijkingen hetzelfde is, komen we uit op

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {displaystyle {k_{1}(T)}{T}=k_{2}(P)P} ,

wat betekent dat

P V T = constante {\frac {PV}{T}}={textrm {constant}}} .

Invullen van de wet van Avogadro levert de ideale gasvergelijking op.

Een afleiding van de gecombineerde gaswet met alleen elementaire algebra kan verrassingen bevatten. Bijvoorbeeld, uitgaande van de drie empirische wetten

P = k V T {Displaystyle P=k_{V},T,¿}.           (1) Wet van Gay-Lussac, volume constant verondersteld

V = k P T {Displaystyle V=k_{P}T\,¿}.           (2) Wet van Charles, druk constant verondersteld

P V = k T {{Displaystyle PV=k_{T}},¿}.           (3) Wet van Boyle, temperatuur constant verondersteld

waar k_V , k_P , en k_T de constanten zijn, kan men de drie met elkaar vermenigvuldigen om te verkrijgen

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}}.

De vierkantswortel van beide zijden nemen en delen door T lijkt het gewenste resultaat op te leveren.

P V T = k P k V k T {Displaystyle {frac {PV}{T}}={{sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}},^^}.

Als men echter, alvorens de bovenstaande procedure toe te passen, de termen in de wet van Boyle, k_T = PV, herschikt, verkrijgt men na annulering en herschikking

k T k V k P = T 2 {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}},\{2}}.

wat niet erg nuttig of zelfs misleidend is.

Een natuurkundige afleiding, die langer maar betrouwbaarder is, begint met het besef dat de parameter voor constant volume in de wet van Gay-Lussac verandert als het systeemvolume verandert. Bij een constant volume, V₁ kan de wet P = k₁ T zijn, terwijl bij een constant volume V₂ P = k₂ T kan zijn. Door dit "variabele constante volume" aan te duiden met k_V (V), wordt de wet herschreven als

P = k V ( V ) T {Displaystyle P=k_{V}(V)║.}           (4)

Dezelfde overweging geldt voor de constante in de wet van Charles, die herschreven kan worden als

V = k P ( P ) T {Displaystyle V=k_{P}(P)║.}           (5)

Bij het zoeken naar k_V (V) moet men niet ondoordacht T elimineren tussen (4) en (5), aangezien P in de eerste variabel is, terwijl het in de tweede constant wordt verondersteld. Veeleer moet eerst worden bepaald in welke zin deze vergelijkingen met elkaar verenigbaar zijn. Om hier inzicht in te krijgen, herinnert u zich dat twee willekeurige variabelen de derde bepalen. Als wij P en V onafhankelijk kiezen, stellen wij ons voor dat de T-waarden een oppervlak boven het PV-vlak vormen. Een bepaalde V₀ en P₀ definiëren een T₀ , een punt op dat oppervlak. Als u deze waarden in (4) en (5) invult en herschikt, krijgt u

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) en T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={{frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}} en T_{0}={{frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}.

Aangezien beide beschrijven wat er op hetzelfde punt op het oppervlak gebeurt, kunnen de twee numerieke uitdrukkingen aan elkaar worden gelijkgesteld en herschikt

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}={{frac {P_{0}}{V_{0}}},\!}.           (6)

Merk op dat

1/k_V (V₀ ) en 1/k_P (P₀ ) zijn de hellingen van orthogonale lijnen evenwijdig aan de P-as/V-as en door dat punt op het oppervlak boven het PV-vlak. De verhouding van de hellingen van deze twee lijnen hangt alleen af van de waarde van P₀ /V₀ op dat punt.

Merk op dat de functionele vorm van (6) niet afhangt van het gekozen punt. Dezelfde formule zou zijn ontstaan voor elke andere combinatie van P- en V-waarden. Daarom kan men schrijven

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={{frac {P}{V}}}quad \forall P,\forall V}} (7)

Dit betekent dat elk punt op het oppervlak zijn eigen paar orthogonale lijnen heeft, waarvan de hellingsverhouding alleen van dat punt afhangt. Terwijl (6) een relatie is tussen specifieke hellingen en variabele waarden, is (7) een relatie tussen hellingsfuncties en functievariabelen. Zij geldt voor elk punt op het oppervlak, d.w.z. voor alle combinaties van P- en V-waarden. Om deze vergelijking op te lossen voor de functie k_V (V), scheidt u eerst de variabelen, V links en P rechts.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {Displaystyle V, k_{V}(V)=P, k_{P}(P)}.

Kies een willekeurige druk P₁ . De rechterzijde evalueert naar een willekeurige waarde, noem k_arb .

V k V ( V ) = k arb {k_{V}(V)=k_{arb}}}.           (8)

Deze specifieke vergelijking moet nu gelden, niet alleen voor één waarde van V, maar voor alle waarden van V. De enige definitie van k_V (V) die dit garandeert voor alle V en willekeurige k_arb is

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={frac {k_{text{arb}}}{V}}} (9)

hetgeen kan worden gecontroleerd door substitutie in (8).

Als we tenslotte (9) vervangen door de wet van Gay-Lussac (4) en herschikken, krijgen we de gecombineerde gaswet

P V T = k arb {\frac {PV}{T}}=k_{text{arb}}},\!

Merk op dat de wet van Boyle weliswaar niet is gebruikt in deze afleiding, maar dat deze gemakkelijk is af te leiden uit het resultaat. In het algemeen zijn twee van de drie beginwetten voldoende voor dit soort afleidingen - alle beginparen leiden tot dezelfde gecombineerde gaswet.

De gecombineerde gaswet kan worden gebruikt om de mechanica te verklaren waarbij druk, temperatuur en volume worden beïnvloed. Bijvoorbeeld: airconditioners, koelkasten en de vorming van wolken en ook gebruik in de vloeistofmechanica en thermodynamica.

• Wet van Dalton