In de wiskunde is een constante functie een functie waarvan de uitvoerwaarde voor elke invoerwaarde gelijk is. Bijvoorbeeld, de functie y ( x ) = 4 {\playstyle y(x)=4}
is een constante functie omdat de waarde van y ( x ) {displaystyle y(x)} 
4 is ongeacht de invoerwaarde x {displaystyle x} 
(zie afbeelding).
Definitie (formeler)
Een functie f met domein D en waarden in een codomein C is constant als er een getal c in C bestaat zodat voor alle x in D geldt f(x) = c. Kort: f(x) ≡ c op D.
Belangrijke eigenschappen
- Beeld (range): de beeldverzameling van een constante functie is het eentallige stel {c}.
- Grafiek: de grafiek van f(x)=c is een horizontale rechte lijn y = c in het vlak (voor reële functies met domein in ℝ).
- Afgeleide: als f(x)=c dan is f'(x)=0 op elk punt waar f differentieerbaar is. Met andere woorden: constante functies hebben overal nul helling.
- Integraal: ∫ c dx = cx + C, waarbij C een integratieconstante is.
- Continuïteit: een constante functie is overal continu op zijn domein; op elk deelgebied is hij ook uniform continu.
- Monotonie: een constante functie is zowel niet-strict niet-increasing als niet-strict niet-decreasing, maar niet strikt monotoon tenzij het domein slechts één element bevat.
- Injectiviteit en surjectiviteit: een constante functie is over een domein met meer dan één element niet injectief. Of zij surjectief is hangt af van het gekozen codomein: zij is surjectief precies wanneer het codomein gelijk is aan {c}.
- Lineaire eigenschappen: als men constante functies als vectoren bekijkt, is de nulconstante f(x)=0 de enige constante functie die lineair is (als lineaire transformatie/gelijkheidsvoorwaarde vereist f(0)=0). Een niet-nul constante functie is geen lineaire transformatie van ℝ naar ℝ.
- Samenstellingen: als g een constante functie is, dan is f∘g ook constant (voor elke f). Als f constant is, dan is f∘g constant; g∘f is constant als f alleen waarden in het domein van g neemt waarop g constant is.
Voorbeelden
- y(x) = 4 (zoals hierboven): altijd 4, grafisch een horizontale lijn y = 4.
- f(x) = 0: de nulconstante, belangrijk omdat dit de neutrale element is bij optelling van functies.
- g(x) = π: constante functie die voor alle x dezelfde reële waarde π geeft.
- Stap- en stukgewijze constante functies: functies die per interval of deelverzameling telkens een vaste waarde aannemen (bijv. zwaartepunt in metrische toepassingen of benaderingen met stappenfuncties).
Toepassingen en opmerkingen
- Constante functies verschijnen vaak als triviale oplossingen van differentiaalvergelijkingen (bijv. y' = 0 geeft y = c).
- In numerieke toepassingen en signaalverwerking dienen constante signalen als referentie- of biaswaarden.
- In de theorie van functiesruimten vormen constante functies vaak een eenvoudige subruimte (bijv. alle reële constante functies op een domein vormen een één-dimensionale vectorruimte).
- Hoewel eenvoudig van vorm, zijn constante functies nuttig als testgevallen en basisvoorbeelden bij het uitleggen van begrippen als continuïteit, afgeleide en integratie.
