Gammafunctie

In de wiskunde is de gammafunctie (Γ(z)) een uitbreiding van de factoriële functie tot alle complexe getallen behalve negatieve gehele getallen. Voor positieve gehele getallen is ze gedefinieerd als Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! Gamma (n)=(n-1)! } {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}

De gammafunctie is gedefinieerd voor alle complexe getallen. Maar het is niet gedefinieerd voor negatieve gehele getallen en nul. Voor een complex getal waarvan het reële deel geen negatief geheel getal is, wordt de functie gedefinieerd door:

De gammafunctie langs een deel van de echte as
De gammafunctie langs een deel van de echte as

Eigenschappen

Bijzondere waarden

Enkele bijzondere waarden van de gammafunctie zijn:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1,32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3,32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\in{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\\\pi }&bijna 2}.363271801207 Gamma (-1/2) &=-2 (-3.544907701811) &=3.544907701811 &=Gamma (1/2) &=1.772453850905 Gamma (1) & 0! & 1 Gamma (3/2) & Frac (1) & 0.88622692545 Gamma (2) & 1! & 1 Gamma (5/2) & 4) & ongeveer 1.32934038818 Gamma (3) & 2!en 2 Gamma (7/2) en 6! {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

Pi-functie

Gauss introduceerde de Pi-functie. Dit is een andere manier om de gammafunctie aan te duiden. In termen van de gammafunctie is de functie Pi

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t z + 1 d t t , {\\Pi (z)=Gamma (z+1)=z; \Gamma (z)=z; {\infty }e^{-t}t^{z+1},{\frac {\rm {d}t}, } {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},}

zodat

Π ( n ) = n ! ...speelstijl...n! {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,}

voor elk niet-negatief geheel getal n.

Toepassingen

Analytische getaltheorie

De gammafunctie wordt gebruikt om de Riemann zeta-functie te bestuderen. Een eigenschap van de Riemann zeta-functie is de functievergelijking:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . Gamma links (2), oké, zeta (3), oké, zeta (4), oké, oké. } {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.}

Bernhard Riemann vond een relatie tussen deze twee functies. Dit was in 1859 in de krant "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Op het aantal priemgetallen minder dan een gegeven hoeveelheid").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . Gamma (z) =int _0. } {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.}


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3