Gammafunctie

In de wiskunde is de gammafunctie (Γ(z)) een uitbreiding van de factoriële functie tot alle complexe getallen behalve negatieve gehele getallen. Voor positieve gehele getallen is ze gedefinieerd als Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

De gammafunctie is gedefinieerd voor alle complexe getallen. Maar het is niet gedefinieerd voor negatieve gehele getallen en nul. Voor een complex getal waarvan het reële deel geen negatief geheel getal is, wordt de functie gedefinieerd door:

De gammafunctie langs een deel van de echte as

Eigenschappen

Bijzondere waarden

Enkele bijzondere waarden van de gammafunctie zijn:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1,32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3,32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\in{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\\\pi }&bijna 2}.363271801207 Gamma (-1/2) &=-2 (-3.544907701811) &=3.544907701811 &=Gamma (1/2) &=1.772453850905 Gamma (1) & 0! & 1 Gamma (3/2) & Frac (1) & 0.88622692545 Gamma (2) & 1! & 1 Gamma (5/2) & 4) & ongeveer 1.32934038818 Gamma (3) & 2!en 2 Gamma (7/2) en 6! ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Pi-functie

Gauss introduceerde de Pi-functie. Dit is een andere manier om de gammafunctie aan te duiden. In termen van de gammafunctie is de functie Pi

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t z + 1 d t t , {\\Pi (z)=Gamma (z+1)=z; \Gamma (z)=z; {\infty }e^{-t}t^{z+1},{\frac {\rm {d}t}, } $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

zodat

Π ( n ) = n ! ...speelstijl...n! $\Pi (n)=n!\,,$

voor elk niet-negatief geheel getal n.

Toepassingen

Analytische getaltheorie

De gammafunctie wordt gebruikt om de Riemann zeta-functie te bestuderen. Een eigenschap van de Riemann zeta-functie is de functievergelijking:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . Gamma links (2), oké, zeta (3), oké, zeta (4), oké, oké. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann vond een relatie tussen deze twee functies. Dit was in 1859 in de krant "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Op het aantal priemgetallen minder dan een gegeven hoeveelheid").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . Gamma (z) =int _0. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Vragen en antwoorden

V: Wat is de gammafunctie in de wiskunde?

A: De gammafunctie is een belangrijk onderwerp op het gebied van speciale functies in de wiskunde.

V: Wat is de uitbreiding van de factoriefunctie naar alle complexe getallen behalve negatieve gehele getallen?

A: De gammafunctie is een uitbreiding van de factoriefunctie naar alle complexe getallen behalve negatieve gehele getallen.

Vraag: Hoe wordt de gammafunctie gedefinieerd voor positieve gehele getallen?

A: Voor positieve gehele getallen wordt de gammafunctie gedefinieerd als Γ(n) = (n-1)!

Vraag: Is de gammafunctie gedefinieerd voor alle complexe getallen?

A: Ja, de gammafunctie is gedefinieerd voor alle complexe getallen.

Vraag: Is de gammafunctie gedefinieerd voor negatieve gehele getallen en nul?

Antwoord: Nee, de gammafunctie is niet gedefinieerd voor negatieve gehele getallen en nul.

Vraag: Hoe wordt de gammafunctie gedefinieerd voor een complex getal waarvan het reële deel geen negatief geheel getal is?

Antwoord: De gammafunctie wordt gedefinieerd voor een complex getal waarvan het reële deel geen negatief geheel getal is door een specifieke formule die niet in de tekst gegeven wordt.

V: Waarom is de gammafunctie belangrijk in de wiskunde?

A: De gammafunctie is belangrijk in de wiskunde omdat het een belangrijk onderwerp is op het gebied van speciale functies en omdat het de factoriële functie uitbreidt naar alle complexe getallen behalve negatieve gehele getallen.