Complex getal

Een complex getal is een getal, maar verschilt in veel opzichten van gewone getallen. Een complex getal is opgebouwd uit twee getallen die samengevoegd zijn. Het eerste deel is een reëel getal. Het tweede deel van een complex getal is een imaginair getal. Het belangrijkste denkbeeldige getal heet i {displaystyle i} $i$ , gedefinieerd als een getal dat -1 zal zijn als kwadraat ("kwadraat" betekent "vermenigvuldigd met zichzelf"): i 2 = i × i = - 1 {displaystyle i^{2}=iTimes i=-1 } $i^{2}=i\times i=-1\$ . Alle andere denkbeeldige getallen zijn i {\\\\\\\\\an5} $i$ vermenigvuldigd met een reëel getal, op dezelfde manier dat alle reële getallen kunnen worden beschouwd als 1 vermenigvuldigd met een ander getal. Rekenkundige functies zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kunnen worden gebruikt met complexe getallen. Ze volgen ook commutatieve, associatieve en verdelende eigenschappen, net als reële getallen.

Complexe getallen werden ontdekt terwijl men probeerde speciale vergelijkingen op te lossen die exponenten in zich hebben. Deze begonnen echte problemen op te leveren voor wiskundigen. Ter vergelijking, met behulp van negatieve getallen is het mogelijk om de x te vinden in de vergelijking a + x = b {\playstyle a+x=b} $a+x=b$ voor alle reële waarden van a en b, maar als alleen positieve getallen zijn toegestaan voor x is het soms onmogelijk om een positieve x te vinden, zoals in de vergelijking $3 + x = 1$ .

Met exponentiatie is er een moeilijkheid te overwinnen. Er is geen echt getal dat -1 geeft als het kwadraat is. Met andere woorden, -1 (of een ander negatief getal) heeft geen echte vierkantswortel. Er is bijvoorbeeld geen reëel getal x {\\playstyle x} dat oplost ( x + 1 ) 2 = - 9 {displaystyle (x+1)^{2}=-9} $(x+1)^{2}=-9$ . Om dit probleem op te lossen, introduceerden wiskundigen een symbool i en noemden het een denkbeeldig getal. Dit is het denkbeeldige getal dat -1 geeft als het kwadraat is.

De eerste wiskundigen die hieraan gedacht hebben waren waarschijnlijk Gerolamo Cardano en Raffaele Bombelli. Zij leefden in de 16e eeuw. Het was waarschijnlijk Leonhard Euler die het schrijven van de wiskunde introduceerde... $\mathrm {i}$ voor dat nummer.

Alle complexe getallen kunnen worden geschreven als a + b i {\playstyle a+bi} $a+bi$ (of a + b ⋅ i {\\cdot i} $a+b\cdot i$ ), waarbij a het echte deel van het nummer wordt genoemd, en b het denkbeeldige deel. We schrijven ℜ ( z ) {displaystyle \Re (z)} $\Re (z)$ of Re ( z ) {displaystyle \\an8}. (z)} $\operatorname {Re} (z)$ voor het echte deel van een complex getal z {\\\\\\\an5} $z$ . Dus, als z = a + b i {\playstyle z=a+bi} $z=a+bi$ , schrijven we a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\playstyle a=Re (z)=operatornaam {Re} (z)} $a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)$ . Op dezelfde manier schrijven we ℑ ( z ) {\\\m (z)} $\Im (z)$ of Im ( z ) {\\\an5} {\an5}. $\operatorname {Im} (z)$ voor het denkbeeldige deel van een complex getal z $z$ ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\playstyle b=Im (z)=operatornaam {Im} (z)} $b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)$ voor dezelfde $z$ . Elk echt getal is ook een complex getal; het is een complex getal $z$ met ℑ ( z ) = 0 {\\m (z)=0} $\Im (z)=0$ .

Het complexe nummer kan ook worden geschreven als een besteld paar, $(a, b)$ . Zowel a als b zijn echte getallen. Elk echt getal kan gewoon geschreven worden als een + 0 ⋅ i {\\cdot i} $a+0\cdot i$ of als het paar $(a, 0)$ .

Soms wordt j {\\\playstyle j} $j$ geschreven in plaats van i {\playstyle i} $i$ . In de elektrotechniek $i$ betekent 'i' elektrische stroom. Het schrijven van i $i$ kan veel problemen veroorzaken omdat sommige getallen in de elektrotechniek complexe getallen zijn.

De set van alle complexe getallen is meestal geschreven als C-mathbb... } $\mathbb {C}$ .

Operaties over complexe getallen

Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen zolang de deler niet nul is, en exponentiëren (verhogen van getallen naar exponenten) zijn allemaal mogelijk met complexe getallen. Sommige andere berekeningen zijn ook mogelijk met complexe getallen.

De regel voor het optellen en aftrekken van complexe getallen is vrij eenvoudig:

Laat z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\playstyle z=(a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ dan z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\playstyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , en z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\playstyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

Vermenigvuldiging is een beetje anders:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Een andere opmerkelijke operatie voor complexe getallen is conjugatie. Een complexe vervoeging z ¯ {\\\playstyle {overline {z}} ${\overline {z}}$ naar z = a + b i {displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ is a - b i {displaystyle a-bi} $a-bi$ . Het is vrij eenvoudig, maar belangrijk voor de berekeningen, want z × z ¯displaystyle {\\overline {z}} $z\times {\overline {z}}$ behoort tot de echte getallen voor alle complexe z {displaystyle {z}} $z$ :

z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

We kunnen dit gebruiken om de verdeling te doen:

1 z = z z ¯ z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\frac {1}{z}={frac {z}}}}}{\frac {\frac }bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\frac {w}{z}=w(\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot {a}{a^2}+b^2}}-{b}{a^2}+b^2}}i@@b^2}i@b^1}{a^2}+b^2}}}i@b^2}}}}links((cx+dy)+(dx-cy)i}recht). } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Andere vormen van beschrijving van complexe getallen

Complexe getallen kunnen worden getoond op een zogenaamd complex vlak. Als je een getal z = a + b i {\playstyle z=a+bi} $z=a+bi$ hebt, kun je naar een punt op de echte as gaan en naar b op de denkbeeldige as en een vector van ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} $(0,0)$ naar ( a , b ) {displaystyle (a,b)} $(a,b)$ tekenen. De lengte van deze vector kan worden berekend met behulp van de stelling van Pythagoras en de hoek tussen de positieve reële as en deze vector, die tegen de klok in gaat. De lengte van een vector voor een getal z wordt $z$ de modulus (geschreven als z $|z|$ ) genoemd, en de hoek wordt het argument ( arg z) $\arg z$ genoemd.

Dit leidt tot de trigonometrische vorm van het beschrijven van complexe getallen: door de definities van sinus en cosinus, $z$ staat voor alle z {\\\\\\\an5}

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . ...z=z=z=. } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

Dit hangt nauw samen met de formule van De Moivre.

Er bestaat zelfs nog een andere vorm, de zogenaamde exponentiëlevorm.

Een complex getal kan visueel worden weergegeven als twee getallen die een vector vormen op een Argand diagram, dat het complexe vlak voorstelt.

Conclusie

Met de toevoeging van complexe getallen aan de wiskunde heeft elke polynoom met complexe coëfficiënten wortels die complexe getallen zijn. De succesvolle optelling van de complexe getallen aan de wiskunde hielp ook om een pad te openen naar de creatie van een ander soort getallen die veel verschillende problemen zouden kunnen oplossen en helpen verklaren, bijvoorbeeld de: hypercomplexe getallen, sedenie, hyperreële getallen, surreële getallen en vele andere. Zie soorten getallen.

Vragen en antwoorden

V: Wat is een complex getal?

A: Een complex getal is een getal dat bestaat uit twee delen, waarbij het eerste deel een reëel getal is en het tweede deel een imaginair getal.

V: Wat is het belangrijkste imaginaire getal?

A: Het belangrijkste imaginaire getal heet i, dat gedefinieerd is als een getal dat -1 is als het gekwadrateerd wordt.

V: Hoe worden rekenkundige functies gebruikt met complexe getallen?

A: Rekenkundige functies zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kunnen worden gebruikt met complexe getallen. Zij volgen ook de commutatieve, associatieve en distributieve eigenschappen, net als reële getallen.

V: Welk symbool stelt de verzameling complexe getallen voor?

A: De verzameling complexe getallen wordt vaak voorgesteld met het symbool C.

V: Waarom werden complexe getallen ontdekt?

A: Complexe getallen werden ontdekt toen men probeerde speciale vergelijkingen met exponenten op te lossen, omdat ze echte problemen opleverden voor wiskundigen.

V: Wie introduceerde het schrijven van i voor dit type getallen?

A: Het was waarschijnlijk Leonhard Euler die het schrijven van i voor dit type getal introduceerde.

V: Hoe kan een complex getal worden geschreven als een geordend paar?

A: Een complex getal kan worden geschreven als een geordend paar (a, b), waarbij a en b reële getallen zijn.