Onvolledigheidsstellingen van Gödel
De onvolledigheidsstellingen van Gödel is de naam die gegeven is aan twee stellingen (ware wiskundige uitspraken), bewezen door Kurt Gödel in 1931. Het zijn stellingen in de mathematische logica.
Wiskundigen hebben ooit gedacht dat alles wat waar is een wiskundig bewijs heeft. Een systeem dat deze eigenschap heeft, wordt compleet genoemd; een systeem dat deze eigenschap niet heeft, wordt incompleet genoemd. Ook mogen wiskundige ideeën geen tegenstrijdigheden bevatten. Dit betekent dat ze niet tegelijkertijd waar en onwaar mogen zijn. Een systeem dat geen tegenstrijdigheden bevat, wordt consistent genoemd. Deze systemen zijn gebaseerd op sets van axioma's. Axioma's zijn uitspraken die als waar worden aanvaard, en geen bewijs behoeven.
Gödel zei dat elk niet-triviaal (interessant) formeel systeem ofwel onvolledig ofwel inconsistent is:
- Er zullen altijd vragen zijn die niet kunnen worden beantwoord, met behulp van een bepaalde set axioma's;
- Je kunt niet bewijzen dat een systeem van axioma's consistent is, tenzij je een andere set axioma's gebruikt.
Deze stellingen zijn belangrijk voor wiskundigen omdat zij bewijzen dat het onmogelijk is een stel axioma's op te stellen dat alles in de wiskunde verklaart.
Enkele gerelateerde onderwerpen
Vragen en antwoorden
V: Wat zijn de onvolledigheidstheorema's van Gödel?
A: De onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn twee ware wiskundige stellingen, in 1931 bewezen door Kurt Gödel, op het gebied van de wiskundige logica.
V: Wat is een compleet systeem in de wiskunde?
A: Een compleet systeem in de wiskunde is een systeem dat de eigenschap heeft dat alles wat waar is een wiskundig bewijs heeft.
V: Wat is een onvolledig systeem in de wiskunde?
A: Een onvolledig systeem in de wiskunde is een systeem dat niet de eigenschap heeft dat alles wat waar is een wiskundig bewijs heeft.
V: Wat is een consistent systeem in de wiskunde?
A: Een consistent systeem in de wiskunde is een systeem dat geen tegenstrijdigheden bevat, wat betekent dat wiskundige ideeën niet tegelijkertijd waar en onwaar mogen zijn.
V: Wat zijn axioma's in de wiskunde?
A: Axioma's in de wiskunde zijn uitspraken die als waar aanvaard worden en geen bewijs vereisen.
V: Wat beweerde Gödel over elk niet-triviaal formeel systeem?
A: Gödel beweerde dat elk niet-triviaal formeel systeem ofwel onvolledig ofwel inconsistent is.
V: Waarom zijn de onvolledigheidstheorema's van Gödel belangrijk voor wiskundigen?
A: De onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn belangrijk voor wiskundigen omdat ze bewijzen dat het onmogelijk is om een set axioma's te maken die alles in de wiskunde verklaart.
