Kurt Gödel

Impact

Volgens sommigen was Gödel een van de belangrijkste logici aller tijden. Het werk van Gödel heeft een grote invloed gehad op het wetenschappelijk en filosofisch denken in de 20e eeuw. Veel mensen, zoals Bertrand Russell, A.N. Whitehead en David Hilbert, probeerden in die tijd de logica en de verzamelingenleer te gebruiken. Zij wilden de grondslagen van de wiskunde begrijpen.

Roem

Gödel is vooral bekend om zijn twee onvolledigheidsstellingen. De stellingen werden gepubliceerd in 1931. Hij was 25 jaar oud, en had net een jaar eerder zijn doctoraat aan de Universiteit van Wenen afgerond.

De beroemdste van de twee stellingen zegt dat als er consistente axiomatische systemen bestaan die krachtig genoeg zijn om zichzelf te beschrijven, er in die systemen dingen waar zijn die niet binnen het systeem zelf bewezen kunnen worden.

Bewijs

Om deze stelling te bewijzen ontwikkelde Gödel een techniek die nu bekend staat als Gödel-nummering, waarbij formele uitdrukkingen worden gecodeerd als natuurlijke getallen.

Hij toonde ook aan dat de continuümhypothese niet kan worden weerlegd vanuit de geaccepteerde axioma's van de verzamelingenleer, als die axioma's consistent zijn. Hij leverde belangrijke bijdragen aan de bewijstheorie. Dit deed hij door de verbanden tussen klassieke logica, intuïtionistische logica en modale logica te verduidelijken.

Later leven

Later in zijn leven leed Gödel waarschijnlijk aan paranoia. Hij dacht dat sommige mensen zijn eten zouden komen vergiftigen. Dus toen zijn vrouw Adele zijn eten niet meer kon klaarmaken, stopte hij met eten. Hij stierf van de honger.

Zijn theorie in eenvoudige woorden

Om zijn theorieën in eenvoudige termen te zeggen: Wat hij ontdekte was dat sommige stellingen in de wiskunde waar kunnen zijn, maar dat niet bewezen kan worden dat ze waar zijn. ^[]

Deze zin is onjuist.

1. Als de zin onwaar zou zijn, zou de uitspraak waar zijn, wat niet kan (omdat we dachten dat hij onwaar was).
2. Als de zin waar zou zijn, dan zou de uitspraak onwaar zijn. Maar we zeiden dat het waar was.

Daarom hebben we een tegenspraak gevonden. Deze zin is onwaar is een stelling die onbeslisbaar wordt genoemd. We kunnen niet zeggen of hij waar of onwaar is.

Enkele geschriften

• Kurt Gödel: Mijn filosofisch standpunt, ca. 1960, ongepubliceerd.
• Kurt Gödel: De moderne ontwikkeling van de grondslagen van de wiskunde in het licht van de filosofie, 1961, ongepubliceerd.