23 problemen van Hilbert
In 1900 publiceerde de wiskundige David Hilbert een lijst van 23 onopgeloste wiskundige problemen. De lijst met problemen bleek zeer invloedrijk te zijn. Na de dood van Hilbert werd in zijn geschriften nog een probleem gevonden; dit staat tegenwoordig soms bekend als Hilbert's 24ste probleem. Dit probleem gaat over het vinden van criteria om aan te tonen dat een oplossing van een probleem de eenvoudigst mogelijke is.
Van de 23 problemen waren er in 2012 drie onopgelost, drie waren te vaag om te worden opgelost en zes konden gedeeltelijk worden opgelost. Gezien de invloed van de problemen heeft het Clay Mathematics Institute in 2000 een soortgelijke lijst opgesteld, de zogeheten Millennium Prize Problems.
Samenvatting
De formulering van sommige problemen is beter dan die van andere. Van de duidelijk geformuleerde Hilbert-problemen hebben de problemen 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20, en 21 een oplossing die bij consensus wordt aanvaard. Daarentegen hebben de problemen 1, 2, 5, 9, 15, 18+, en 22 oplossingen die gedeeltelijk worden aanvaard, maar er bestaat enige onenigheid over de vraag of het probleem daarmee is opgelost.
De oplossing voor probleem 18, het Kepler-vermoeden, maakt gebruik van een computerondersteund bewijs. Dit is controversieel, omdat een menselijke lezer niet in staat is het bewijs in redelijke tijd te verifiëren.
Dan blijven 16, 8 (de Riemann-hypothese) en 12 onopgelost. In deze classificatie zijn 4, 16, en 23 te vaag om ooit als opgelost te worden beschreven. De teruggetrokken 24 zou ook in deze klasse vallen. 6 wordt eerder beschouwd als een probleem in de natuurkunde dan in de wiskunde.
Tabel van problemen
Hilbert's drieëntwintig problemen zijn:
| Probleem | Korte uitleg | Status | Jaar Opgelost |
| 1e | De continuüm-hypothese (dat wil zeggen dat er geen verzameling is waarvan de kardinaliteit strikt ligt tussen die van de gehele getallen en die van de reële getallen) | Het is bewezen dat het onmogelijk is te bewijzen of te weerleggen binnen de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer met of zonder het Axioma van de Keuze (op voorwaarde dat de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer met of zonder het Axioma van de Keuze consistent is, d.w.z. geen twee stellingen bevat zodanig dat de ene een negatie is van de andere). Er bestaat geen consensus over de vraag of dit een oplossing van het probleem is. | 1963 |
| 2e | Bewijs dat de axioma's van de rekenkunde consistent zijn. | Er bestaat geen consensus over de vraag of de resultaten van Gödel en Gentzen een oplossing bieden voor het door Hilbert gestelde probleem. Gödel's tweede onvolledigheidstheorema, bewezen in 1931, toont aan dat binnen de rekenkunde zelf geen bewijs van haar consistentie kan worden uitgevoerd. Gentzen's consistentiebewijs (1936) toont aan dat de consistentie van de rekenkunde volgt uit de gegrondheid van de ordinaal ε0. | 1936? |
| 3e | Als er twee veelvlakken zijn met een gelijk volume, is het dan altijd mogelijk om het eerste veelvlak in eindig veel stukken te snijden die weer in elkaar gezet kunnen worden tot het tweede veelvlak? | Opgelost. Resultaat: nee, bewezen met Dehn invarianten. | 1900 |
| 4e | Construeer alle metrieken waar lijnen geodeten zijn. | Te vaag om te zeggen opgelost of niet. | - – |
| 5e | Zijn continue groepen automatisch differentiële groepen? | Opgelost door Andrew Gleason of Hidehiko Yamabe, afhankelijk van hoe de oorspronkelijke stelling wordt geïnterpreteerd. Als het echter wordt opgevat als een equivalent van het Hilbert-Smith conjectuur, is het nog steeds onopgelost. | 1953? |
| 6e | Axiomatize all of physics | Gedeeltelijk opgelost. | - – |
| 7e | Is a b transcendentaal, voor algebraïsche a ≠ 0,1 en irrationele algebraïsche b ? | Opgelost. Resultaat: ja, geïllustreerd door de stelling van Gelfond of de stelling van Gelfond-Schneider. | 1934 |
| 8e | De Riemann-hypothese ("het reële deel van elk niet-triviaal nulpunt van de Riemann-zeta-functie is ½") en andere priemgetalproblemen, waaronder het vermoeden van Goldbach en het tweelingpriem-vermoeden | Onopgelost. | - – |
| 9e | Vind de meest algemene wet van de reciprociteitstheorie in elk algebraïsch getalveld | Gedeeltelijk opgelost. | - – |
| 10e | Vind een algoritme om te bepalen of een gegeven polynomiale Diophantijnse vergelijking met gehele coëfficiënten een gehele oplossing heeft. | Opgelost. Resultaat: onmogelijk, de stelling van Matiyasevich impliceert dat een dergelijk algoritme niet bestaat. | 1970 |
| 11e | Oplossen van kwadratische vormen met algebraïsche numerieke coëfficiënten. | Gedeeltelijk opgelost. [] | - – |
| 12e | Breid de stelling van Kronecker-Weber over abelische extensies van de rationale getallen uit tot een willekeurig basisgetallenveld. | Gedeeltelijk opgelost door klasseveldentheorie, hoewel de oplossing niet zo expliciet is als het Kronecker-Weber theorema. | - – |
| 13de | Oplossen van 7-de graads vergelijkingen met continue functies van twee parameters. | Onopgelost. Het probleem werd gedeeltelijk opgelost door Vladimir Arnold op basis van werk van Andrej Kolmogorov. | 1957 |
| 14e | Is de ring van invarianten van een algebraïsche groep handelend op een polynomiale ring altijd eindig gegenereerd? | Opgelost. Resultaat: nee, tegenvoorbeeld werd geconstrueerd door Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15e | Strenge fundering van Schubert's enumeratieve calculus. | Gedeeltelijk opgelost. [] | - – |
| 16e | Beschrijf de relatieve posities van ovalen uitgaande van een reële algebraïsche kromme en als limietcycli van een polynomiaal vectorveld op het vlak. | Onopgelost. | - – |
| 17e | Uitdrukking van een bepaalde rationale functie als quotiënt van sommen van kwadraten | Opgelost door Emil Artin en Charles Delzell. Resultaat: Er werd een bovengrens vastgesteld voor het aantal benodigde kwadratische termen. Het vinden van een ondergrens is nog steeds een open probleem. | 1927 |
| 18e | a) Bestaat er een veelvlak dat alleen een drie-dimensionale, twee-dimensionale betegeling toelaat? | a) Resoluut. Resultaat: ja (van Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19e | Zijn de oplossingen van Lagrangianen altijd analytisch? | Opgelost. Resultaat: ja, bewezen door Ennio de Giorgi en, onafhankelijk en met verschillende methoden, door John Forbes Nash. | 1957 |
| 20e | Hebben alle variationele problemen met bepaalde randvoorwaarden oplossingen? | Opgelost. Een belangrijk onderwerp van onderzoek gedurende de gehele 20e eeuw, culminerend in oplossingen[] voor het niet-lineaire geval. | - – |
| 21e | Bewijs van het bestaan van lineaire differentiaalvergelijkingen met een voorgeschreven monodromische groep | Opgelost. Resultaat: Ja of nee, afhankelijk van meer exacte formuleringen van het probleem. [] | - – |
| 22e | Uniformering van analytische relaties door middel van automorfische functies | Opgelost. [] | - – |
| 23e | Verdere ontwikkeling van de calculus van variaties | Onopgelost. | - – |
Vragen en antwoorden
V: Wie publiceerde in 1900 een lijst van 23 onopgeloste wiskundige problemen?
A: David Hilbert publiceerde een lijst van 23 onopgeloste wiskundige problemen in 1900.
V: Maakte Hilberts 24e probleem deel uit van de oorspronkelijke lijst?
A: Nee, Hilberts 24e probleem werd gevonden in Hilberts geschriften na zijn dood.
V: Waar gaat het 24e probleem van Hilbert over?
A: Het 24e probleem van Hilbert gaat over het vinden van criteria om aan te tonen dat een oplossing van een probleem de eenvoudigst mogelijke is.
V: Waren alle 23 problemen op de lijst van Hilbert opgelost in 2012?
A: Nee, drie van de 23 problemen op de lijst van Hilbert waren in 2012 nog niet opgelost.
V: Waren er problemen op de lijst van Hilbert die te vaag waren om opgelost te worden?
A: Ja, drie van de problemen op de lijst van Hilbert waren te vaag om opgelost te worden.
V: Hoeveel van de problemen op de lijst van Hilbert konden gedeeltelijk opgelost worden?
A: Zes van de problemen op de lijst van Hilbert konden gedeeltelijk opgelost worden.
V: Heeft het Clay Mathematics Institute een lijst gemaakt die lijkt op de problemen van Hilbert?
A: Ja, het Clay Mathematics Institute heeft in 2000 een vergelijkbare lijst gemaakt met de naam Millennium Prize Problems.
