Graham's nummer | zeer groot natuurlijk getal
Het getal van Graham is een zeer groot natuurlijk getal dat werd gedefinieerd door Ronald Graham. Graham loste een probleem op in de wiskunde dat Ramsey-theorie heet. Hij bewees dat het antwoord op zijn probleem kleiner was dan het getal van Graham.
Het getal van Graham is een van de grootste getallen die ooit in een wiskundig bewijs zijn gebruikt. Zelfs als elk cijfer in Grahams getal in het kleinst mogelijke schrift zou worden geschreven, zou het nog steeds te groot zijn om in het waarneembare universum te passen.
Context
Ramsey-theorie is een tak van de wiskunde die vragen stelt als de volgende:
Stel dat we een aantal punten tekenen, en elk paar punten verbinden door een lijn. Sommige lijnen zijn blauw en andere rood. Kunnen wij altijd 3 punten vinden waarvoor de 3 lijnen die hen verbinden allemaal dezelfde kleur hebben?
Het blijkt dat voor dit eenvoudige probleem het antwoord "ja" is wanneer we 6 of meer punten hebben, ongeacht de kleur van de lijnen. Maar als we 5 punten of minder hebben, kunnen we de lijnen zo kleuren dat het antwoord "nee" is.
Nogmaals, stel dat we een aantal punten hebben, maar nu zijn het de hoeken van een n-dimensionale hyperkubus. Ze zijn nog steeds verbonden door blauwe en rode lijnen. Voor elke 4 punten zijn er 6 lijnen die ze verbinden. Kunnen we 4 punten vinden die allemaal op één vlak liggen, en waarvan de 6 lijnen die ze verbinden allemaal dezelfde kleur hebben?
Door te vragen dat de 4 punten op een vlak liggen, hebben we het probleem veel moeilijker gemaakt. Wij zouden graag willen weten: voor welke waarden van n is het antwoord "nee" (voor sommige manieren om de lijnen te kleuren), en voor welke waarden van n is het "ja" (voor alle manieren om de lijnen te kleuren)? Maar dit probleem is nog niet helemaal opgelost.
In 1971 vonden Ronald Graham en B. L. Rothschild een gedeeltelijk antwoord op dit probleem. Zij toonden aan dat voor n=6 het antwoord "nee" is. Maar als n heel groot is, zo groot als Grahams getal of groter, is het antwoord "ja".
Een van de redenen waarom dit gedeeltelijke antwoord belangrijk is, is dat het betekent dat het antwoord uiteindelijk "ja" is voor ten minste enkele grote n. Vóór 1971 wisten we niet eens zoveel.
Er is een veel kleinere limiet voor hetzelfde probleem, genaamd N. Deze is gelijk aan 
, waarbij 
. Deze zwakkere bovengrens voor het probleem, toegeschreven aan een ongepubliceerd werk van Graham, werd uiteindelijk gepubliceerd en benoemd door Martin Gardner in Scientific American in november 1977.
Definitie
Het getal van Graham is niet alleen te groot om alle cijfers op te schrijven, het is zelfs te groot om in wetenschappelijke notatie te schrijven. Om het op te kunnen schrijven, moeten we Knuths pijl-omhoog-notatie gebruiken.
We schrijven een reeks getallen op die we g1, g2, g3, enzovoort noemen. Elk getal wordt gebruikt in een vergelijking om het volgende te vinden. g64 is Grahams getal.
Eerst volgen hier enkele voorbeelden van up-arrows:
is 3x3x3 wat gelijk is aan 27. Een pijl tussen twee getallen betekent gewoon het eerste getal vermenigvuldigd met zichzelf het tweede aantal keren.- Men kan
zien als 
omdat twee pijlen tussen de getallen A en B gewoon betekent dat A een B aantal keren is opgeschreven met een pijl tussen elke A. Omdat we weten wat enkele pijlen zijn, is 3 vermenigvuldigd met zichzelf keer en we weten dat zevenentwintig is. Dus is 3x3x3x3x....x3x3x3, in totaal 27 keer. Dat is gelijk aan 7.625.597.484.987. 
is 
en we weten dat is 7,625,597,484,987. Dus is 
. Dat kan ook geschreven worden als 
met in totaal 7,625,597,484,987 3s. Dit getal is zo groot dat de cijfers ervan, zelfs als ze heel klein worden geschreven, het waarneembare heelal en verder zouden kunnen vullen.- Hoewel dit aantal misschien al onbegrijpelijk is, is dit nog maar het begin van dit gigantische aantal.
- De volgende stap als deze is
of 
. Dit is het getal dat we g1 zullen noemen.
Daarna is g2 gelijk aan 
; het aantal pijlen in dit getal is g1.
g3 is gelijk aan 
, waarbij het aantal pijlen g2 is.
Zo gaan we door. We stoppen wanneer we g64 definiëren als .
Dit is Graham's nummer.
Gerelateerde pagina's
- Knuth's pijl-omhoog notatie
Vragen en antwoorden
V: Wie heeft het getal van Graham gedefinieerd?
A: Ronald Graham heeft het getal van Graham gedefinieerd.
V: Op welk gebied van de wiskunde werkte Ronald Graham toen hij het getal definieerde?
A: Ronald Graham werkte op het gebied van de wiskunde dat Ramsey-theorie heet, toen hij het getal definieerde.
V: Wat bewees Ronald Graham met zijn probleem?
A: Ronald Graham bewees dat het antwoord op zijn probleem kleiner was dan het getal van Graham.
V: Hoe groot is het getal van Graham in vergelijking met andere getallen die in wiskundige bewijzen worden gebruikt?
A: Het getal van Graham is een van de grootste getallen die ooit in een wiskundig bewijs zijn gebruikt.
V: Als elk cijfer van het getal geschreven zou worden, zou het dan in het waarneembare heelal passen?
A: Zelfs als elk cijfer van het getal van Graham in het kleinst mogelijke schrift zou worden geschreven, zou het nog steeds te groot zijn om in het waarneembare heelal te passen.
V: Is er een manier om te berekenen of te schatten hoe groot dit getal is?
A: Er is geen exacte manier om te berekenen of in te schatten hoe groot dit specifieke natuurlijke getal is, omdat het nog niet volledig is vastgesteld.
V: Waarom bestaat zo'n groot natuurlijk getal en welk doel dient het?
A: Deze zeer grote natuurlijke waarde bestaat omdat hij door Ronald Grahm werd gebruikt als onderdeel van een wiskundig bewijs en dient als bovengrens voor zijn oplossing.
