Wat is een hyperkubus? Definitie, eigenschappen en voorbeelden

Ontdek wat een hyperkubus is: heldere definitie, kernmerken, diagonaalformule, eenheidshyperkubus en aansprekende voorbeelden van n-dimensionale kubussen en toepassingen.

In de meetkunde is een hyperkubus een n-dimensionaal analoog van een vierkant (n = 2) en een kubus (n = 3). Het is een gesloten, compacte, convexe figuur waarvan het 1-skelet bestaat uit groepen tegengestelde parallelle lijnsegmenten die in elk van de afmetingen van de ruimte loodrecht op elkaar staan en dezelfde lengte hebben. De langste diagonaal van een eenheidshyperkubus in n dimensie is gelijk aan n {\\\\rt {n}} .

Een n-dimensionale hyperkubus wordt ook wel een n-kubus of een n-dimensionale kubus genoemd. De term "measure polytope" wordt ook gebruikt, met name in het werk van H. S. M. Coxeter (oorspronkelijk uit Elte, 1912), maar deze is nu vervangen.

De hyperkubus is het bijzondere geval van een hyperrechthoek (ook wel n-orthotoop genoemd).

Een eenheid hyperkubus is een hyperkubus waarvan de zijde één eenheid lang is. Vaak wordt de hyperkubus waarvan de hoeken (of hoekpunten) de 2n punten in Rn zijn met elke coördinaat gelijk aan 0 of 1 "de" eenheid hyperkubus genoemd.

Definitie en constructie

Een hyperkubus van dimensie n kan worden geconstrueerd als het Cartesische product van n intervallen [0, s] (waar s de zijde is). Voor de eenheidshyperkubus geldt dus:

[0,1]^n = { (x1, x2, ..., xn) ∈ R^n : 0 ≤ xi ≤ 1 voor alle i }.

De hoekpunten (vertices) van de eenheidshyperkubus zijn precies de 2^n binaire n-tallen {0,1}^n. Dit maakt de hyperkubus ook nuttig voor combinatorische en informatica-toepassingen: elk hoekpunt kan worden aangeduid met een binaire string van lengte n.

Belangrijke eigenschappen en formules

• Aantal hoekpunten (vertices): 2^n.
• Aantal randen (edges): n·2^{n-1} (elke hoek heeft n aanliggende randen, maar elke rand wordt dubbel geteld bij totaalberekening).
• Aantal k-dimensionale facetten (k-faces): 2^{n-k} · C(n,k), waarbij C(n,k) de binomiale coëfficiënt is. Bijvoorbeeld vierkante zijvlakken van een 4-kubus: 2^{4-2}·C(4,2) = 4·6 = 24.
• Volume (inhoud) van een zijde s: s^n. Voor de eenheidshyperkubus is de inhoud 1.
• (n−1)-oppervlak (totale grensmaat): 2n · s^{n-1} (voor een zijde van lengte s).
• Ruimtelijke diagonaal: de lengte van een diagonaal door het midden van de hyperkubus is s·√n; voor s = 1 is dat √n. (Bovenaan staat het bijbehorende afbeeldingssymbool voor √n.)
• Topologie: de rand van een n-kubus is homeomorf met de (n−1)-sfeer S^{n−1}.

Algebraïsche en combinatorische structuren

Het 1-skelet van de n-kubus is de zogeheten hypercube-grafiek Q_n. Kenmerken:

• Regulier van graad n (elk hoekpunt heeft n buren).
• Bipartiet: de partitie wordt gegeven door pariteit van het aantal enen in de binaire representatie.
• Diameter n: de maximale Hamming-afstand tussen twee hoekpunten is n.

Visualisatie en voorbeelden

• n = 0: een punt.
• n = 1: een lijnsegment.
• n = 2: een vierkant.
• n = 3: een (gewone) kubus.
• n = 4: een tesseract of 4-kubus — te visualiseren via projecties naar 3D (bijv. Schlegel-diagram) of via doorsneden.

Veel visualisatietechnieken gebruiken projecties of nets (uitvouwingen) om hogere dimensies begrijpelijk te maken. Schaduwen, axonometrische projecties en animaties die rotaties in 4D tonen, helpen bij het intuïtief voorstellen van een tesseract.

Symmetrie en dualiteit

De symmetriegroep van de n-kubus is de hyperoctaëdrische groep (ook wel de Coxetergroep B_n genoemd), die bestaan uit permutaties van coördinaten gecombineerd met onafhankelijke tekenwisselingen. De duale veelvlak van de n-kubus is de n-dimensionale kruispolytoop (cross polytope).

Toepassingen

Hyperkubussen komen voor in uiteenlopende vakgebieden:

• In de informatica: representatie van binaire toestanden, parallelle netwerken en hypercube-netwerken.
• In de combinatoriek en grafentheorie: studie van bitstrings, Gray-codes en afstandsproblemen (Hamming-afstand).
• In de wiskunde en optimalisatie: cartesiaanse producten van intervallen, meetkunde van hoge dimensies en integralen over hyperrechthoeken.
• In wetenschap en data-analyse: visualisatie van multivariabele data (parallelle assen, projecties) en ruimtelijke modellen in hoge dimensies.

Praktische opmerkingen

Hoewel de hyperkubus eenvoudig te definiëren, leidt de toenemende dimensie snel tot combinatorische explosie (bijv. het aantal hoekpunten groeit als 2^n). Hierdoor ontstaan bij hogere n rekenkundige en visualisatie-uitdagingen, maar ook rijke structuren die in theorie en praktijk veelvuldig worden benut.

Bouw

Een hyperkubus kan worden gedefinieerd door het aantal afmetingen van een vorm te vergroten:

0 - Een punt is een hyperkubus van dimensie nul.

1 - Als men dit punt één eenheidslengte verplaatst, zal het een lijnsegment wegvegen, wat een eenheidshyperkubus van dimensie één is.

2 - Als men dit lijnsegment in een loodrechte richting van zichzelf beweegt, veegt het een 2-dimensionaal vierkant uit.

3 - Als men het vierkant een eenheidslengte verplaatst in de richting loodrecht op het vlak waarop het ligt, zal het een 3-dimensionale kubus genereren.

4 - Als men de kubus een eenheidslengte in de vierde dimensie verplaatst, genereert het een 4-dimensionale eenheid hyperkubus (een eenheid tesseract).

Dit kan veralgemeend worden naar een willekeurig aantal afmetingen. Dit proces van het uitvegen van volumes kan wiskundig worden geformaliseerd als een Minkowski-som: de d-dimensionale hyperkubus is de Minkowski-som van d-loodrechte lijnstukken, en is dus een voorbeeld van een zonotoop.

Het 1-skelet van een hyperkubus is een hyperkubusgrafiek.

Een diagram dat laat zien hoe je een tesseract kunt maken vanuit een punt.


Een animatie die laat zien hoe je vanuit een punt een tesseract maakt.

Vragen en antwoorden

V: Wat is een hyperkubus?

V: Wat is de langste diagonaal in een n-dimensionale hyperkubus?

V: Bestaat er een andere term voor een n-dimensionale hyperkubus?

V: Wat betekent "eenheids-hyperkubus"?

V: Hoe kunnen we een "hyperrechthoek" definiëren?

Zoek op letter