Wetten van de grote aantallen

Schrijver: Leandro Alegsa Aanmaakdatum: 18 januari 2021

De wet van de grote aantallen (LLN) is een stelling uit de statistiek. Denk eens aan een proces waarin willekeurige uitkomsten voorkomen. Zo wordt bijvoorbeeld een willekeurige variabele herhaaldelijk waargenomen. Dan zal het gemiddelde van de waargenomen waarden stabiel zijn, op de lange termijn. Dit betekent dat het gemiddelde van de waargenomen waarden op de lange termijn steeds dichter bij de verwachte waarde komt te liggen.

Bij het gooien van de dobbelstenen zijn de getallen 1, 2, 3, 4, 5 en 6 mogelijke uitkomsten. Ze zijn allemaal even waarschijnlijk. Het populatiegemiddelde (of "verwachte waarde") van de uitkomsten is:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

De volgende grafiek toont de resultaten van een experiment met rollen van een dobbelsteen. In dit experiment is te zien dat het gemiddelde van de dobbelsteenrollen in het begin sterk varieert. Zoals voorspeld door het LLN, stabiliseert het gemiddelde zich rond de verwachte waarde van 3,5 als het aantal waarnemingen groot wordt.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

Geschiedenis

Jacob Bernoulli beschreef voor het eerst het LLN. Hij zegt dat het zo eenvoudig was dat zelfs de domste man instinctief weet dat het waar is. Desondanks heeft het hem meer dan 20 jaar gekost om een goed wiskundig bewijs te ontwikkelen. Toen hij het gevonden had, publiceerde hij het bewijs in Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing) in 1713. Hij noemde dit zijn "Gouden Stelling". Het werd algemeen bekend als "Bernoulli's Stelling" (niet te verwarren met de Wet op de Natuurkunde met dezelfde naam.) In 1835 beschreef S.D.Poisson het verder onder de naam "La loi des grands nombres" (De wet van de grote aantallen). Daarna was het bekend onder beide namen, maar de "Wet van de grote getallen" wordt het meest gebruikt.

Ook andere wiskundigen hebben bijgedragen aan het verbeteren van de wet. Sommigen van hen waren Tsjebysjev, Markov, Borel, Cantelli en Kolmogorov. Na deze studies zijn er nu twee verschillende vormen van de wet: De ene heet de "zwakke" wet en de andere de "sterke" wet. Deze vormen beschrijven geen verschillende wetten. Ze hebben verschillende manieren om de convergentie van de waargenomen of gemeten waarschijnlijkheid naar de werkelijke waarschijnlijkheid te beschrijven. De sterke vorm van de wet impliceert de zwakke.

Vragen en antwoorden

V: Wat is de wet van de grote getallen?

A: De wet van de grote getallen is een stelling uit de statistiek die stelt dat als een willekeurig proces herhaaldelijk wordt waargenomen, het gemiddelde van de waargenomen waarden op de lange termijn stabiel zal zijn.

V: Wat betekent de wet van de grote getallen?

A: De wet van de grote getallen betekent dat naarmate het aantal waarnemingen toeneemt, het gemiddelde van de waargenomen waarden steeds dichter bij de verwachte waarde komt te liggen.

V: Wat is een verwachte waarde?

A: Een verwachtingswaarde is het populatiegemiddelde van de uitkomsten van een willekeurig proces.

V: Wat is de verwachte waarde van het gooien van een dobbelsteen?

A: De verwachte waarde van het gooien van een dobbelsteen is de som van de mogelijke uitkomsten gedeeld door het aantal uitkomsten: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.

V: Wat laat de grafiek in de tekst zien met betrekking tot de wet van de grote aantallen?

Antwoord: De grafiek laat zien dat het gemiddelde van de dobbelsteenworpen in het begin sterk varieert, maar zoals voorspeld door de LLN stabiliseert het gemiddelde zich rond de verwachte waarde van 3,5 als het aantal waarnemingen groot wordt.

V: Hoe is de wet van de grote getallen van toepassing op het dobbelen?

A: De wet van de grote getallen is van toepassing op het dobbelen, want als het aantal worpen toeneemt, zal het gemiddelde van de worpen steeds dichter bij de verwachte waarde van 3,5 komen.

V: Waarom is de wet van de grote getallen belangrijk in de statistiek?

A: De wet van de grote aantallen is belangrijk in de statistiek omdat het een theoretische basis biedt voor het idee dat gegevens de neiging hebben om gemiddeld te worden over een groot aantal waarnemingen. Het is de basis voor veel statistische methoden, zoals betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetests.