Goniometrie

Trigonometrie (van het Griekse trigonon = drie hoeken en metron = maat) is een onderdeel van de elementaire wiskunde dat zich bezighoudt met hoeken, driehoeken en trigonometrische functies zoals sinus (afgekort sin), cosinus (afgekort cos) en tangens (afgekort tan). Het heeft enig verband met meetkunde, hoewel er onenigheid bestaat over wat dat verband precies is; voor sommigen is trigonometrie gewoon een onderdeel van meetkunde.

Overzicht en definities

Trigonometrie gebruikt een groot aantal specifieke woorden om delen van een driehoek te beschrijven. Enkele van de definities in trigonometrie zijn:

Rechthoekige driehoek - Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan de hoek gelijk is aan 90 graden. (Een driehoek kan niet meer dan één rechte hoek hebben) De standaard goniometrische verhoudingen kunnen alleen gebruikt worden op rechthoekige driehoeken.
Hypotenusa - De hypotenusa van een driehoek is de langste zijde, en de zijde die tegenover de rechte hoek ligt. Bijvoorbeeld, voor de driehoek hiernaast is de schuine zijde c.
Tegenovergestelde van een hoek - De tegenovergestelde zijde van een hoek is de zijde die niet snijdt met het hoekpunt van de hoek. Bijvoorbeeld, zijde a is het tegenovergestelde van hoek A in de driehoek hiernaast.
Aangrenzende zijde van een hoek - De aanliggende zijde van een hoek is de zijde die het hoekpunt van de hoek snijdt maar niet de hypotenusa is. Bijvoorbeeld, zijde b is aanliggend aan hoek A in de driehoek hiernaast.

Een standaard rechthoekige driehoek. C is de rechte hoek in dit plaatje

Trigonometrische verhoudingen

Er zijn drie belangrijke goniometrische verhoudingen voor rechthoekige driehoeken, en drie reciprocalen van die verhoudingen. Er zijn in totaal 6 verhoudingen. Dat zijn:

Sinus (sin) - De sinus van een hoek is gelijk aan de Opposite Hypotenusa {{Opposite}} {{Tekst}Hypotenusa}}}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Cosinus (cos) - De cosinus van een hoek is gelijk aan de Aangrenzende Hypotenusa {{Aangrenzende}} {{Hypotenuse}} ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Raaklijn (tan) - De tangens van een hoek is gelijk aan de tegenovergestelde aanliggende {{Tekst{Opposite}} {{Tekst{Aaangrenzend}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Adjacent}}}$

De reciprocalen van deze verhoudingen zijn:

Cosecant (csc) - De cosecant van een hoek is gelijk aan de hypotenusa {{Hypotenusa}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Opposite}}}$ csc θ = 1 sin θ {\displaystyle \csc \theta ={1 \over \sin \theta }} $\csc \theta ={1 \over \sin \theta }$

Secans (sec) - De secans van een hoek is gelijk aan de hypotenusa aanliggend {{\text{Hypotenusa}} θ = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta ={1 \over \cos \theta }} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Adjacent}}}$ $\sec \theta ={1 \over \cos \theta }$

Cotangens (cot) - De cotangens van een hoek is gelijk aan de aanliggende tegengestelde {{Aanliggende}} θ = 1 tan θ ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Opposite}}}$ {{\displaystyle \cot \theta ={1 \over \tan \theta }} $\cot \theta ={1 \over \tan \theta }$

Leerlingen gebruiken vaak een geheugensteuntje om deze verhouding te onthouden. De sinus-, cosinus- en tangensverhoudingen in een rechthoekige driehoek kunnen worden onthouden door ze voor te stellen als letterreeksen, zoals SOH-CAH-TOA:

Sinus = Tegenpool ÷ Hypotenusa

Cosinus = Aangrenzend ÷ Hypotenusa

Raaklijn = Tegenover ÷ Aangrenzend

Met behulp van trigonometrie

Met de sinussen en cosinussen kan men vrijwel alle vragen over driehoeken beantwoorden. Dit noemt men het "oplossen" van de driehoek. Men kan de overblijvende hoeken en zijden van een willekeurige driehoek berekenen, zodra twee zijden en hun bijbehorende hoek of twee hoeken en een zijde of drie zijden bekend zijn. Deze wetten zijn nuttig in alle takken van de meetkunde, omdat elke veelhoek kan worden beschreven als een combinatie van driehoeken.

Trigonometrie is ook van vitaal belang in de landmeetkunde, in de vectoranalyse en in de studie van periodieke functies.

Er bestaat ook zoiets als sferische trigonometrie, die zich bezighoudt met sferische meetkunde. Deze wordt gebruikt voor berekeningen in de astronomie, de geodesie en de navigatie.

Trigonometrie Wetten

Wet van Sinus

a Sin A = b Sin B = c Sin C {\displaystyle {{\text{a}}} {{Tekst{Sin A}}={Tekst{b}} {{Tekst{Sin B}}={{Sin B}}={Tekst{c}} {\over {{Sin C}}} ${{\text{a}} \over {\text{Sin A}}}={{\text{b}} \over {\text{Sin B}}}={{\text{c}} \over {\text{Sin C}}}$

Wet van Cosinus

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos ( A ) {Displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos(A)} $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$

Wet van Raaklijnen

a - b a + b = tan ( 1 2 ( A - B ) ) tan ( 1 2 ( A + B ) ) {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\tan({\frac {1}{2}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}(A+B))}} ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}(A+B))}}$