Zeno's paradoxen

Achilles en de schildpad

In de paradox van Achilles en de schildpad is Achilles in een voetwedstrijd verwikkeld met de schildpad. Achilles geeft de schildpad een voorsprong van 100 meter, bijvoorbeeld. Stel dat elke renner begint te lopen met een constante snelheid, de ene heel snel en de andere heel langzaam. Na een bepaalde eindige tijd zal Achilles 100 meter hebben gerend, waarmee hij bij het startpunt van de schildpad is aangekomen. In die tijd heeft de langzamere schildpad een veel kortere afstand afgelegd. Het zal Achilles dan nog enige tijd kosten om die afstand af te leggen, tegen die tijd zal de schildpad verder zijn gevorderd. Het zal dan nog meer tijd kosten voor Achilles om dit derde punt te bereiken, terwijl de schildpad weer vooruit gaat. Telkens als Achilles dus ergens komt waar de schildpad is geweest, moet hij nog verder. Omdat er dus een oneindig aantal punten zijn waar Achilles moet komen waar de schildpad al is geweest, kan hij de schildpad nooit inhalen.

De Dichotomie Paradox

Stel, iemand wil van punt A naar punt B. Eerst moet hij halverwege gaan. Dan moet hij de helft van de resterende afstand afleggen. Als je zo doorgaat, blijft er altijd een kleine afstand over en wordt het doel nooit bereikt. Er zal altijd een ander getal moeten worden toegevoegd in een reeks zoals 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +....A naar een willekeurig ander punt B wordt gezien als een onmogelijkheid.

Commentaar

Hier ligt dan de paradox van Zeno: beide beelden van de werkelijkheid kunnen niet tegelijk waar zijn. Dus, ofwel: 1. 2. In werkelijkheid bestaat er niet zoiets als een discrete, of incrementele, hoeveelheid tijd, afstand, of wat dan ook, of 3. Er bestaat een derde beeld van de werkelijkheid dat de twee beelden - het wiskundige beeld - verenigt. 3. Er is een derde beeld van de werkelijkheid dat de twee beelden - het wiskundige en het gezond verstand of filosofische - verenigt en dat we nog niet volledig kunnen begrijpen.

Voorgestelde oplossingen

Weinig mensen zouden wedden dat de schildpad de race tegen een atleet zou winnen. Maar, wat is er mis met het argument?

Als men begint met het optellen van de termen in de reeks 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., zal men opmerken dat de som steeds dichter bij 1 komt, en nooit groter zal worden dan 1. Aristoteles (die de bron is voor veel van wat wij weten over Zeno) merkte op dat als de afstand (in de dichotomieparadox) kleiner wordt, de tijd om elke afstand af te leggen buitengewoon veel kleiner en kleiner wordt. Vóór 212 v. Chr. had Archimedes een methode ontwikkeld om een eindig antwoord af te leiden voor de som van oneindig veel termen die steeds kleiner worden (zoals 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). De moderne calculus bereikt hetzelfde resultaat, met behulp van meer rigoureuze methoden.

Sommige wiskundigen, zoals w:Carl Boyer, zijn van mening dat Zeno's paradoxen gewoon wiskundige problemen zijn, waarvoor de moderne calculus een wiskundige oplossing biedt. De vragen van Zeno blijven echter problematisch als men een oneindige reeks stappen, stap voor stap, benadert. Dit staat bekend als een supertaak. Bij calculus gaat het niet om het één voor één optellen van getallen. In plaats daarvan bepaalt het de waarde (een limiet genoemd) die de optelling nadert.

Zie Engelse Wikipedia artikelen

• Zeno's paradoxen
• De kwadratuur van de parabool
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·
• Thompson's lamp