Binaire bewerking in de wiskunde — definitie, voorbeelden en eigenschappen

Ontdek binaire bewerkingen in de wiskunde: duidelijke definitie, concrete voorbeelden (optellen, vermenigvuldigen, matrices, functies) en essentiële eigenschappen.

In de wiskunde is een binaire bewerking, vaak aangeduid met *, op een verzameling een manier om een paar elementen van die verzameling te combineren tot een ander element van die verzameling. Formeel is een binaire bewerking op een verzameling S een functie *: S × S → S; dat wil zeggen: voor elk geordend paar (a, b) met a en b in S levert * één resultaat in S. Deze eigenschap heet sluiting (closure) en is essentieel: het resultaat moet wéér binnen dezelfde verzameling liggen.

Voorbeelden

• De optelling en de vermenigvuldiging op de natuurlijke getallen (of op de gehele/getallen/geldige ringen) zijn klassieke voorbeelden: de som van twee natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal; 2 * 3 = 5 (bij optelling) of 2 * 3 = 6 (bij vermenigvuldiging).
• De som tussen matrices is een binaire bewerking die elementgewijs optelt en gesloten is op matrices van dezelfde afmetingen. Matrixvermenigvuldiging is ook een binaire bewerking, maar niet commutatief in het algemeen.
• De samenstelling van functies f ∘ g is een binaire bewerking op geschikte verzamelingen van functies; samenstelling is wel associatief, en de identiteitfunctie fungeert als neutraal element.
• De vereniging en de doorsnijding van verzamelingen zijn twee verschillende binaire bewerkingen op de verzameling van deelverzamelingen (bijvoorbeeld op een machtsverzameling). Beide zijn gesloten, commutatief en associatief; bovendien is elk idempotent (A ∪ A = A, A ∩ A = A).
• Andere voorbeelden uit de informatica zijn bitwise-operaties (AND, OR, XOR) op vaste-bitreeksen.

Belangrijke eigenschappen van binaire bewerkingen

• Sluiting: voor alle a, b in S is a * b ook in S.
• Associativiteit: (a * b) * c = a * (b * c) voor alle a, b, c in S. Voorbeelden: optelling en vermenigvuldiging van getallen, matrixvermenigvuldiging en functiezusammenstelling.
• Commutativiteit: a * b = b * a voor alle a, b in S. Voorbeelden: optelling, vermenigvuldiging van reële getallen, vereniging en doorsnijding van verzamelingen. Niet alle bewerkingen zijn commutatief (matrixvermenigvuldiging is dat meestal niet).
• Neutraal element (identiteit): er bestaat e in S zó dat e * a = a * e = a voor alle a in S. Voorbeelden: 0 is het neutrale element voor optelling, 1 voor vermenigvuldiging, de lege verzameling ∅ voor vereniging, en de totale verzameling voor doorsnijding (afhankelijk van de universele verzameling).
• Inverse elementen: een element a heeft een inverse a⁻¹ als a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e. Inverses bestaan bijvoorbeeld in de groep van niet-nul rationale getallen bij vermenigvuldiging, maar niet in de natuurlijke getallen bij optelling.
• Distributiviteit: oftewel hoe twee verschillende binaire bewerkingen ten opzichte van elkaar samenwerken, bijvoorbeeld a·(b + c) = a·b + a·c (vermenigvuldiging is distributief over optelling).
• Idempotentie: a * a = a voor alle a in S (bijv. A ∪ A = A of A ∩ A = A).
• Annulerende eigenschappen en cancellatie: in sommige structuren geldt dat als a * b = a * c, dan b = c (linkscancellatie); dit geldt niet altijd.

Algebraïsche structuren die ontstaan uit binaire bewerkingen

Afhankelijk van welke eigenschappen een binaire bewerking of een verzameling van bewerkingen bezit, ontstaan verschillende algebraïsche structuren:

• Magma: een verzameling met één binaire bewerking (alleen sluiting vereist).
• Semigroep: een magma waarvan de bewerking associatief is.
• Monoïde: een semigroep met een neutraal element.
• Groep: een monoïde waarbij elk element een inverse heeft.
• Ring: een verzameling met twee binaire bewerkingen (meestal optelling en vermenigvuldiging) die samen bepaalde axioma's (zoals distributiviteit) voldoen.

Opmerkingen en veelgemaakte valkuilen

• Niet elke bewerking die we intuïtief als “bewerking tussen twee elementen” zien, is een binaire bewerking volgens de formele definitie: sluiting is cruciaal. Zo is aftrekken op de natuurlijke getallen niet gesloten (3 − 5 is geen natuurlijk getal), tenzij je het domein uitbreidt naar de gehele getallen.
• De termen en notaties kunnen variëren: sommige auteurs schrijven a ⋆ b of a ◦ b; samenstelling van functies wordt vaak als f ∘ g geschreven en is niet commutatief (f ∘ g ≠ g ∘ f in het algemeen).
• Een binaire bewerking is iets anders dan een binaire relatie; de eerste geeft één specifiek resultaat per paar elementen, de tweede is een eigenschap die wel of niet geldt voor elk paar.

Door binaire bewerkingen te bestuderen en te classificeren naar hun eigenschappen leggen wiskundigen de basis voor veel gebieden in de algebra, combinatoriek en theoretische informatica. De hierboven genoemde voorbeelden — zoals optelling en vermenigvuldiging van natuurlijke getallen, de som van matrices, de samenstelling van functies en de vereniging en de doorsnijding van verzamelingen — illustreren hoe algemeen en nuttig het begrip van een binaire bewerking is.

Vragen en antwoorden

V: Wat is een binaire operatie?

V: Hoe wordt een binaire operatie in de wiskunde aangeduid?

V: Wat is een voorbeeld van een binaire operatie op natuurlijke getallen?

V: Wat is het resultaat van de toepassing van een binaire bewerking op een paar natuurlijke getallen?

V: Kunnen binaire bewerkingen worden toegepast op andere wiskundige objecten dan getallen?

V: Wat zijn enkele voorbeelden van binaire bewerkingen op verzamelingen?

V: In welke verzameling kunnen twee verschillende binaire operaties worden uitgevoerd?

Zoek op letter