Matrix (wiskunde) | een rechthoek van getallen, gerangschikt in rijen en kolommen

De horizontale lijnen in een matrix heten rijen en de verticale lijnen heten kolommen. Een matrix met m rijen en n kolommen heet een m-bij-n matrix (of m×n matrix) en m en n heten de afmetingen.

De plaatsen in de matrix waar de getallen staan, worden entries genoemd. De ingang van een matrix A die in het rijnummer i en het kolomnummer j ligt, heet de i,j ingang van A. Deze wordt geschreven als A[i,j] of a_i,j .

We schrijven A := ( a i j ) m × n {A:=(a_{ij})_{m maal n}} om een m × n matrix A te definiëren, waarbij elke ingang in de matrix een_i,j wordt genoemd voor alle 1 ≤ i ≤ m en 1 ≤ j ≤ n.

Voorbeeld

De matrix

[1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {begin{bmatrix}1&2&3&2&7&4&9&2&6&1&5{bmatrix}}}.

is een 4×3 matrix. Deze matrix heeft m=4 rijen, en n=3 kolommen.

Het element A[2,3] of een_2,3 is 7.

Toevoeging

De som van twee matrices is de matrix waarvan de (i,j)-ste ingang gelijk is aan de som van de (i,j)-ste ingangen van twee matrices:

[1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {{displaystyle {begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

De twee matrices hebben dezelfde afmetingen. Hier geldt dat A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} waar is (en in het algemeen waar is voor matrices van gelijke afmetingen).

Vermenigvuldiging van twee matrices

De vermenigvuldiging van twee matrices is iets ingewikkelder:

[a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ]. {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4}={begin{bmatrix}(a1{bmot b1+a2{bmot b3)&(a1{bmot b2+a2{bmot b4)&(a3{bmot b1+a4{bmot b3)&(a3{bmot b2+a4{bmot b4)}}.

Dus met cijfers:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {{begin{bmatrix}3&5&4 ⋅} {begin{bmatrix}2&0 ⋅&0 ⋅ 0 ] = [ 31 9 22 3 ] {begin{bmatrix}3&5&4 ⋅ 03\5&0\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}(3\dot 2+5\dot 5)&(3\dot 3+5\dot 0)&(1\dot 2+4\dot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• Twee matrices kunnen met elkaar worden vermenigvuldigd, ook al hebben ze verschillende afmetingen, zolang het aantal kolommen in de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen in de tweede matrix.
• Het resultaat van de vermenigvuldiging, het product genoemd, is een andere matrix met hetzelfde aantal rijen als de eerste matrix en hetzelfde aantal kolommen als de tweede matrix.
• De vermenigvuldiging van matrices is niet commutatief, wat betekent dat in het algemeen, A B ≠ B A {aparte AB} .
• De vermenigvuldiging van matrices is associatief, wat betekent dat ( A B ) C = A ( B C ) {(AB)C=A(BC)} .

Sommige matrices zijn bijzonder.

Vierkante matrix

Een vierkante matrix heeft evenveel rijen als kolommen, dus m=n.

Een voorbeeld van een vierkante matrix is

[5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {displaystyle {begin{bmatrix}5&-2&4&9&1&7&6&8{bmatrix}}.

Deze matrix heeft 3 rijen en 3 kolommen: m=n=3.

Identiteit

Elke vierkante dimensie van een matrix heeft een speciale tegenhanger, de "identiteitsmatrix", die wordt voorgesteld door het symbool I {I} . De eenheidsmatrix heeft alleen maar nullen, behalve op de hoofddiagonaal, waar allemaal enen staan. Bijvoorbeeld:

[1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&1}}.

is een eenheidsmatrix. Er is precies één eenheidsmatrix voor elke reeks vierkante dimensies. Een eenheidsmatrix is bijzonder omdat bij vermenigvuldiging van een willekeurige matrix met de eenheidsmatrix het resultaat altijd de oorspronkelijke matrix is, zonder wijziging.

Inverse matrix

Een inverse matrix is een matrix die bij vermenigvuldiging met een andere matrix gelijk is aan de eenheidsmatrix. Bijvoorbeeld:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {{displaystyle} {begin{bmatrix}7&8-6&77\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {{displaystyle {begin{bmatrix}7&-8-6&7}}} is het omgekeerde van [ 7 8 6 7 ] {displaystyle {begin{bmatrix}7&8{bmatrix}6&7}}} .

De formule voor de inverse van een 2x2 matrix, [ x y z v ] {{displaystyle {begin{bmatrix}x&y}z&vend{bmatrix}} is:

( 1 det ) [ v - y - z x ] {{displaystyle \left({frac {1}{det }}}right){begin{bmatrix}v&-y{z&x{bmatrix}}}.

Waarbij det {\det } de determinant van de matrix is. In een 2x2 matrix is de determinant gelijk aan:

x v - y z {xv-yz}}

Eén kolom matrix

Een matrix met veel rijen, maar slechts één kolom, wordt een kolomvector genoemd.

De determinant neemt een vierkante matrix en berekent een eenvoudig getal, een scalair. Om te begrijpen wat dit getal betekent, neemt u elke kolom van de matrix en tekent u deze als een vector. Het parallellogram dat door die vectoren wordt getekend, heeft een oppervlakte, die de determinant is. Voor alle 2x2 matrices is de formule heel eenvoudig: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {displaystyle \det \left({begin{bmatrix}a&bc&d{bmatrix}}right)=ad-bc}.

Voor 3x3 matrices is de formule ingewikkelder: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {{begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Er zijn geen eenvoudige formules voor de determinanten van grotere matrices, en veel computerprogrammeurs bestuderen hoe ze computers snel grote determinanten kunnen laten vinden.

Eigenschappen van determinanten

Er zijn drie regels die alle determinanten volgen. Deze zijn:

• De determinant van een eenheidsmatrix is 1
• Worden twee rijen of twee kolommen van de matrix verwisseld, dan wordt de determinant vermenigvuldigd met -1. Wiskundigen noemen dit afwisselend.
• Als alle getallen in een rij of kolom worden vermenigvuldigd met een ander getal n, dan wordt de determinant vermenigvuldigd met n. Als een matrix M een kolom v heeft die de som is van twee kolommatrices v 1 {{1}} en v 2 {{2}}}, dan is de determinant van M de som van de determinanten van M met v 1 {{1}} en v 2 {{2}}. dan is de determinant van M de som van de determinanten van M met v 1 {{1}} in plaats van v en M met v 2 {{2}} in plaats van v. Deze twee voorwaarden worden multi-lineariteit genoemd.

• Determinant
• Eigenwaarden en eigenvectoren
• Matrixanalyse
• Matrixfunctie
• Numerieke lineaire algebra
• Stelsel van lineaire vergelijkingen
• Transponeren