Matrix (wiskunde) | een rechthoek van getallen, gerangschikt in rijen en kolommen

In de wiskunde is een matrix (meervoud: matrices) een rechthoek van getallen, gerangschikt in rijen en kolommen. De rijen zijn elk van links naar rechts (horizontaal), en de kolommen gaan van boven naar beneden (verticaal). De cel linksboven is rij 1, kolom 1 (zie het diagram rechts).

Matrices worden vaak weergegeven met Romeinse hoofdletters zoals A {displaystyle A} $A$ , B {{displaystyle B} $B$ en C {{displaystyle C}}. $C$ Er zijn regels voor het optellen, aftrekken en "vermenigvuldigen" van matrices, maar de regels zijn anders dan voor getallen. Bijvoorbeeld, het product A B AB} $AB$ geeft niet altijd hetzelfde resultaat als B A BA}. $BA$ , wat wel het geval is voor de vermenigvuldiging van gewone getallen. Een matrix kan meer dan 2 dimensies hebben, zoals een 3D-matrix. Een matrix kan ook eendimensionaal zijn, als een enkele rij of een enkele kolom.

Veel natuurwetenschappen maken veel gebruik van matrices. Op veel universiteiten worden cursussen over matrices (meestal lineaire algebra genoemd) al heel vroeg gegeven, soms zelfs al in het eerste studiejaar. Ook in de informatica, techniek, natuurkunde, economie en statistiek komen matrices veel voor.

Naar specifieke entries van een matrix wordt vaak verwezen door paren van subscripts te gebruiken, voor de getallen bij elk van de rijen en kolommen.

Definities en notaties

De horizontale lijnen in een matrix heten rijen en de verticale lijnen heten kolommen. Een matrix met m rijen en n kolommen heet een m-bij-n matrix (of m×n matrix) en m en n heten de afmetingen.

De plaatsen in de matrix waar de getallen staan, worden entries genoemd. De ingang van een matrix A die in het rijnummer i en het kolomnummer j ligt, heet de i,j ingang van A. Deze wordt geschreven als A[i,j] of a_i,j .

We schrijven A := ( a i j ) m × n {A:=(a_{ij})_{m maal n}} $A:=(a_{ij})_{m\times n}$ om een m × n matrix A te definiëren, waarbij elke ingang in de matrix een_i,j wordt genoemd voor alle 1 ≤ i ≤ m en 1 ≤ j ≤ n.

Voorbeeld

De matrix

[1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {begin{bmatrix}1&2&3&2&7&4&9&2&6&1&5{bmatrix}}}. ${\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}$

is een 4×3 matrix. Deze matrix heeft m=4 rijen, en n=3 kolommen.

Het element A[2,3] of een_2,3 is 7.

Operaties

Toevoeging

De som van twee matrices is de matrix waarvan de (i,j)-ste ingang gelijk is aan de som van de (i,j)-ste ingangen van twee matrices:

[1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {{displaystyle {begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

De twee matrices hebben dezelfde afmetingen. Hier geldt dat A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} $A+B=B+A$ waar is (en in het algemeen waar is voor matrices van gelijke afmetingen).

Vermenigvuldiging van twee matrices

De vermenigvuldiging van twee matrices is iets ingewikkelder:

[a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ]. {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4}={begin{bmatrix}(a1{bmot b1+a2{bmot b3)&(a1{bmot b2+a2{bmot b4)&(a3{bmot b1+a4{bmot b3)&(a3{bmot b2+a4{bmot b4)}}. ${\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}$

Dus met cijfers:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {{begin{bmatrix}3&5&4 ⋅} {begin{bmatrix}2&0 ⋅&0 ⋅ 0 ] = [ 31 9 22 3 ] {begin{bmatrix}3&5&4 ⋅ 03\5&0\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}(3\dot 2+5\dot 5)&(3\dot 3+5\dot 0)&(1\dot 2+4\dot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}$

Twee matrices kunnen met elkaar worden vermenigvuldigd, ook al hebben ze verschillende afmetingen, zolang het aantal kolommen in de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen in de tweede matrix.
Het resultaat van de vermenigvuldiging, het product genoemd, is een andere matrix met hetzelfde aantal rijen als de eerste matrix en hetzelfde aantal kolommen als de tweede matrix.
De vermenigvuldiging van matrices is niet commutatief, wat betekent dat in het algemeen, A B ≠ B A {aparte AB} $AB\neq BA$ .
De vermenigvuldiging van matrices is associatief, wat betekent dat ( A B ) C = A ( B C ) {(AB)C=A(BC)} $(AB)C=A(BC)$ .

Speciale matrices

Sommige matrices zijn bijzonder.

Vierkante matrix

Een vierkante matrix heeft evenveel rijen als kolommen, dus m=n.

Een voorbeeld van een vierkante matrix is

[5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {displaystyle {begin{bmatrix}5&-2&4&9&1&7&6&8{bmatrix}}. ${\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}$

Deze matrix heeft 3 rijen en 3 kolommen: m=n=3.

Identiteit

Elke vierkante dimensie van een matrix heeft een speciale tegenhanger, de "identiteitsmatrix", die wordt voorgesteld door het symbool I {I} . De eenheidsmatrix heeft alleen maar nullen, behalve op de hoofddiagonaal, waar allemaal enen staan. Bijvoorbeeld:

[1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&1}}. ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

is een eenheidsmatrix. Er is precies één eenheidsmatrix voor elke reeks vierkante dimensies. Een eenheidsmatrix is bijzonder omdat bij vermenigvuldiging van een willekeurige matrix met de eenheidsmatrix het resultaat altijd de oorspronkelijke matrix is, zonder wijziging.

Inverse matrix

Een inverse matrix is een matrix die bij vermenigvuldiging met een andere matrix gelijk is aan de eenheidsmatrix. Bijvoorbeeld:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {{displaystyle} {begin{bmatrix}7&8-6&77\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

[ 7 - 8 - 6 7 ] {{displaystyle {begin{bmatrix}7&-8-6&7}}} ${\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}$ is het omgekeerde van [ 7 8 6 7 ] {displaystyle {begin{bmatrix}7&8{bmatrix}6&7}}} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}$ .

De formule voor de inverse van een 2x2 matrix, [ x y z v ] {{displaystyle {begin{bmatrix}x&y}z&vend{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}$ is:

( 1 det ) [ v - y - z x ] {{displaystyle \left({frac {1}{det }}}right){begin{bmatrix}v&-y{z&x{bmatrix}}}. $\left({\frac {1}{\det }}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}$

Waarbij det {\det } $\det$ de determinant van de matrix is. In een 2x2 matrix is de determinant gelijk aan:

x v - y z {xv-yz}} ${xv-yz}$

Eén kolom matrix

Een matrix met veel rijen, maar slechts één kolom, wordt een kolomvector genoemd.

Determinanten

De determinant neemt een vierkante matrix en berekent een eenvoudig getal, een scalair. Om te begrijpen wat dit getal betekent, neemt u elke kolom van de matrix en tekent u deze als een vector. Het parallellogram dat door die vectoren wordt getekend, heeft een oppervlakte, die de determinant is. Voor alle 2x2 matrices is de formule heel eenvoudig: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {displaystyle \det \left({begin{bmatrix}a&bc&d{bmatrix}}right)=ad-bc}. $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc$

Voor 3x3 matrices is de formule ingewikkelder: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {{begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})} $\det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})$

Er zijn geen eenvoudige formules voor de determinanten van grotere matrices, en veel computerprogrammeurs bestuderen hoe ze computers snel grote determinanten kunnen laten vinden.

Eigenschappen van determinanten

Er zijn drie regels die alle determinanten volgen. Deze zijn:

De determinant van een eenheidsmatrix is 1
Worden twee rijen of twee kolommen van de matrix verwisseld, dan wordt de determinant vermenigvuldigd met -1. Wiskundigen noemen dit afwisselend.
Als alle getallen in een rij of kolom worden vermenigvuldigd met een ander getal n, dan wordt de determinant vermenigvuldigd met n. Als een matrix M een kolom v heeft die de som is van twee kolommatrices v 1 {{1}} $v_{1}$ en v 2 {{2}}}, dan is de determinant van M de som van de determinanten van M met v 1 {{1}} en v 2 {{2}}. $v_{2}$ dan is de determinant van M de som van de determinanten van M met v 1 {{1}} $v_{1}$ in plaats van v en M met v 2 {{2}} $v_{2}$ in plaats van v. Deze twee voorwaarden worden multi-lineariteit genoemd.

Gerelateerde pagina's

Determinant
Eigenwaarden en eigenvectoren
Matrixanalyse
Matrixfunctie
Numerieke lineaire algebra
Stelsel van lineaire vergelijkingen
Transponeren

Vragen en antwoorden

V: Wat is een matrix?

A: Een matrix is een rechthoek van getallen, gerangschikt in rijen en kolommen. De rijen zijn elk van links naar rechts (horizontaal), en de kolommen gaan van boven naar beneden (verticaal).

V: Hoe worden matrices voorgesteld?

A: Matrices worden vaak weergegeven met hoofdletters, zoals A, B en C.

V: Wat gebeurt er als u twee matrices met elkaar vermenigvuldigt?

A: Het product AB geeft niet altijd hetzelfde resultaat als BA, wat anders is dan het vermenigvuldigen van gewone getallen.

V: Kan een matrix meer dan twee dimensies hebben?

A: Ja, een matrix kan meer dan 2 dimensies hebben, zoals een 3D-matrix. Hij kan ook eendimensionaal zijn, als een enkele rij of kolom.

V: Waar worden matrices gebruikt?

A: Matrices worden gebruikt in vele natuurwetenschappen en computerwetenschappen, techniek, natuurkunde, economie en statistiek.

V: Wanneer geven universiteiten cursussen over matrices?

A: Universiteiten geven meestal al heel vroeg in de studie cursussen over matrices (meestal lineaire algebra genoemd), soms zelfs al in het eerste studiejaar.

V: Is het mogelijk om matrices bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken?

A: Ja - er zijn regels voor het optellen en aftrekken van matrices bij elkaar, maar deze regels verschillen van die voor gewone getallen.