Algebraïsche vergelijking
In de wiskunde is een algebraïsche vergelijking, ook wel polynomiale vergelijking over een bepaald veld genoemd, een vergelijking van de vorm
P = Q = Q-displaystyle P = Q. 
waarbij P en Q veeltermen zijn over dat veld, en één (univariaat) of meer dan één (multivariaat) variabele hebben. Bijvoorbeeld:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\frac {4}+{frac {xy}{2}}={frac {x^3}}{3}}-xy^2}+y^2}-{1}{7}}} 
is een algebraïsche vergelijking over de rationele getallen.
Twee vergelijkingen worden gelijkwaardig genoemd als ze dezelfde oplossingen hebben. Dit betekent dat alle oplossingen van de tweede vergelijking ook oplossingen van de eerste moeten zijn en omgekeerd. De vergelijking P = Q {\playstyle P=Q} is gelijkwaardig met P - Q = 0 {displaystyle P-Q=0} 
. De studie van algebraïsche vergelijkingen is dus gelijkwaardig aan de studie van veeltermen.
Als een algebraïsche vergelijking boven de rantsoenen ligt, kan deze altijd worden omgezet in een equivalente vergelijking, waarbij alle coëfficiënten gehele getallen zijn. Bijvoorbeeld, in de bovenstaande vergelijking vermenigvuldigen we met 42 = 2-3-7 en groeperen we de termen in het eerste lid. De vergelijking wordt geconverteerd naar
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\playstyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
De oplossingen van een vergelijking zijn de waarden van de variabelen waarvoor de vergelijking waar is. Maar voor algebraïsche vergelijkingen worden er ook wel wortels genoemd. Bij het oplossen van een vergelijking moeten we zeggen in welke set de oplossingen zijn toegestaan. Zo kan men voor een vergelijking over de rationale waarden bijvoorbeeld oplossingen vinden in de gehele getallen. Dan is de vergelijking een diophantinevergelijking. Men kan ook oplossingen zoeken op het gebied van complexe getallen. Men kan ook zoeken naar oplossingen in reële getallen.
Oude wiskundigen wilden de oplossingen van univariate vergelijkingen (dat wil zeggen vergelijkingen met één variabele) in de vorm van radicale uitdrukkingen, zoals x = 1 + 5 2 {\frac {1+{sqrt {5}}}{2}}
voor de positieve oplossing van x 2 + x - 1 = 0 {displaystyle x^{2}+x-1=0}
. De oude Egyptenaren wisten op deze manier vergelijkingen van graad 2 (dat zijn vergelijkingen waarbij de hoogste macht van de variabele 2 is) op te lossen. Tijdens de Renaissance loste Gerolamo Cardano de vergelijking van graad 3 op en Lodovico Ferrari de vergelijking van graad 4. Uiteindelijk bewees Niels Henrik Abel in 1824 dat de vergelijking van graad 5 en de vergelijkingen van hogere graden niet altijd met behulp van radicalen kunnen worden opgelost. De Galois-theorie, genoemd naar Évariste Galois, werd geïntroduceerd om criteria te geven die bepalen of een vergelijking oplosbaar is met behulp van radicalen.
Vragen en antwoorden
V: Wat is een algebraïsche vergelijking?
A: Een algebraïsche vergelijking is een vergelijking van de vorm P = Q, waarbij P en Q veeltermen zijn over een gegeven veld met één of meer variabelen.
V: Hoe kunnen twee vergelijkingen gelijkwaardig zijn?
A: Twee vergelijkingen worden als gelijkwaardig beschouwd als zij dezelfde reeks oplossingen hebben, wat betekent dat alle oplossingen van de ene vergelijking ook oplossingen van de andere vergelijking moeten zijn en omgekeerd.
V: Wat betekent het om een vergelijking op te lossen?
A: Een vergelijking oplossen betekent de waarden van de variabelen vinden die de vergelijking waar maken. Deze waarden worden wortels genoemd.
V: Kunnen algebraïsche vergelijkingen over rationale getallen altijd worden omgezet in vergelijkingen met gehele coëfficiënten?
A: Ja, door beide zijden te vermenigvuldigen met een getal zoals 42 = 2-3-7 en de termen in het eerste lid te groeperen, kan elke algebraïsche vergelijking over rationale getallen worden omgezet in een vergelijking met gehele coëfficiënten.
V: Wanneer wilden de oude wiskundigen radicale uitdrukkingen voor univariate vergelijkingen?
A: Oude wiskundigen wilden radicale uitdrukkingen (zoals x=1+√5/2) voor univariate vergelijkingen (vergelijkingen met één variabele) tijdens de Renaissance.
V: Wie loste in deze periode vergelijkingen van graad 3 en 4 op?
A: Gerolamo Cardano loste vergelijkingen van graad 3 op en Lodovico Ferrari loste vergelijkingen van graad 4 op in deze periode.
V: Wie bewees dat vergelijkingen van hogere graden niet altijd met behulp van radicalen kunnen worden opgelost?
A: Niels Henrik Abel bewees in 1824 dat vergelijkingen van hogere graden niet altijd kunnen worden opgelost met behulp van radicalen.
