Delen door nul

In de wiskunde kan een getal niet door nul worden gedeeld. Let op:

1. A ∗ B = C {\playstyle A*B=C} $A*B=C$

Als B = 0, dan is C = 0. Dit is waar. Maar:

2. A = C / B {\\\playstyle A=C/B} $A=C/B$

(waar B=0, dus we delen het gewoon door nul)

Dat is hetzelfde als:

3. A = 0 / 0 {\\\playstyle A=0/0} $A=0/0$

Het probleem is dat A een $A$ willekeurig nummer kan zijn. Het zou werken als A $A$ 1 was of als het 1.000.000.000 was. 0/0 zou om deze reden een "onbepaalde vorm" hebben, omdat het geen enkele waarde heeft. Nummers van de vorm A/0, daarentegen, waar A $A$ niet 0 is, zijn "onbepaald", of "onbepaald". Dit komt omdat elke poging om ze te definiëren zal resulteren in een waarde van oneindigheid, die zelf ongedefinieerd is. Meestal als twee getallen gelijk zijn aan hetzelfde, zijn ze gelijk aan elkaar. Dat is niet waar als ze allebei gelijk zijn aan 0/0. Dit betekent dat de normale regels van de wiskunde niet werken als het getal gedeeld wordt door nul.

Onjuiste bewijzen op basis van deling door nul

Het is mogelijk om een speciaal geval van deling door nul te verdoezelen in een algebraïsch argument. Dit kan leiden tot ongeldige bewijzen, zoals 1=2, zoals in het volgende:

Met de volgende aannames:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Het volgende moet waar zijn:

0 × 1 = 0 × 2. $0\times 1=0\times 2.\,$

Delen door nul geeft:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. Tekststijl, keer 1 = keer 2. $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Vereenvoudigen:

1 = 2. 1=2. $1=2.\,$

De misvatting is de aanname dat delen door 0 een legitieme bewerking is met 0/0 = 1.

De meeste mensen zouden het bovenstaande "bewijs" waarschijnlijk als onjuist herkennen, maar hetzelfde argument kan worden aangevoerd op een manier die het moeilijker maakt om de fout te herkennen. Als bijvoorbeeld 1 als x wordt geschreven, dan kan 0 worden verborgen achter x-x en 2 achter x+x. De bovengenoemde proefdruk kan dan als volgt worden weergegeven:

x - x x x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\\\\\\x}(x-x)x=0{\-x)(x+x)=0end{uitgelijnd}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

Daarom:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\\\an8000} x=(x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Delen door x - x geeft:

x = x + x x {\\\\} $x=x+x\,$

en delen door x geeft:

1 = 2. 1=2. $1=2.\,$

Het "bewijs" hierboven is onjuist omdat het deelt door nul wanneer het deelt door x-x, omdat elk getal minus zelf nul is.

Berekening

In de calculatie komen de bovenstaande "onbepaalde vormen" ook als gevolg van directe substitutie bij het evalueren van limieten.

Verdeling door nul in computers

Als een computerprogramma een geheel getal door nul probeert te delen, zal het besturingssysteem dit meestal detecteren en het programma stoppen. Meestal zal het een "foutmelding" afdrukken, of de programmeur advies geven over hoe het programma te verbeteren^[]. Delen door nul is een veel voorkomende fout in de computerprogrammering. Delen van drijvende kommagetallen (decimalen) door nul zal meestal resulteren in een oneindigheid of een speciale NaN (geen getal) waarde, afhankelijk van wat er gedeeld wordt door nul.

Deling door nul in de geometrie

In de geometrie 1 0 = ∞ . {\\frac {1}}=0}=infty {\frac {0}}. } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Deze oneindigheid (projectieve oneindigheid) is geen positief of negatief getal, net zoals nul geen positief of negatief getal is.

Vragen en antwoorden

V: Wat is het resultaat van het delen van een getal door nul?

A: Een getal delen door nul resulteert in een "ongedefinieerde" of "onbepaalde vorm", wat betekent dat het geen enkele waarde heeft.

V: Wat betekent 0/0?

A: Men zegt dat 0/0 een "onbepaalde vorm" heeft, omdat het geen enkele waarde heeft.

V: Wat gebeurt er als twee getallen gelijk zijn aan hetzelfde, maar dat ding is 0/0?

A: De normale regels van de wiskunde werken niet wanneer het getal gedeeld wordt door nul, dus zouden de twee getallen niet gelijk zijn aan elkaar.

V: Is het waar dat elke poging om een getal van de vorm A/0 te definiëren zal resulteren in een waarde van oneindig?

A: Ja, elke poging om een getal van de vorm A/0 (waarbij A niet 0 is) te definiëren zal resulteren in een waarde van oneindig, die zelf ongedefinieerd is.

V: Hoe kan men bepalen of twee getallen gelijk zijn aan elkaar?

A: Wij kunnen bepalen of twee getallen gelijk zijn aan elkaar door te kijken of ze allebei gelijk zijn aan hetzelfde. Meestal werkt dit, maar dit geldt niet wanneer beide getallen gelijk zijn aan 0/0.

V: Is er een uitzondering voor wanneer wij een getal niet door nul kunnen delen? A: Ja, in de wiskunde is het niet mogelijk een getal door nul te delen.