Algebra

Algebra (uit het Arabisch: الجبر, getranslitereerd "al-jabr", wat "reünie van gebroken delen" betekent) is een onderdeel van de wiskunde (in de Verenigde Staten vaak wiskunde genoemd en in het Verenigd Koninkrijk wiskunde of rekenen). Het gebruikt variabelen om een waarde weer te geven die nog niet bekend is. Wanneer een gelijkheidsteken (=) wordt gebruikt, wordt dit een vergelijking genoemd. Een heel eenvoudige vergelijking met een variabele is: 2 + 3 = x. In dit voorbeeld is x = 5, of men zou ook kunnen zeggen dat "x gelijk is aan vijf". Dit heet oplossen voor x.

Naast vergelijkingen zijn er ook ongelijkheden (minder dan en groter dan). Een speciaal soort vergelijking wordt de functie genoemd. Deze wordt vaak gebruikt bij het maken van grafieken omdat het altijd één ingang in één uitgang verandert.

Algebra kan gebruikt worden om echte problemen op te lossen, omdat de regels van algebra in het echte leven werken en getallen kunnen worden gebruikt om de waarden van echte dingen weer te geven. Natuurkunde, techniek en computerprogrammering zijn gebieden die de hele tijd algebra gebruiken. Het is ook nuttig om te weten in de landmeetkunde, de bouw en het bedrijfsleven, met name de boekhouding.

Mensen die algebra doen, gebruiken de regels van getallen en wiskundige bewerkingen die op getallen worden gebruikt. De eenvoudigste zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Bij meer geavanceerde bewerkingen gaat het om exponenten, te beginnen met vierkanten en vierkantswortels.

Algebra werd voor het eerst gebruikt om vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen. Twee voorbeelden zijn lineaire vergelijkingen (de vergelijking van een rechte lijn, y=mx+b) en kwadratische vergelijkingen, die variabelen hebben die gekwadrateerd zijn (vermenigvuldigd met bijvoorbeeld: 2*2, 3*3, of x*x).

Geschiedenis

Vroege vormen van algebra werden ontwikkeld door de Babyloniërs en de Griekse geografen zoals Held van Alexandrië. Het woord "algebra" is echter een Latijnse vorm van het Arabische woord Al-Jabr ("gieten") en komt uit een wiskundeboek Al-Maqala fi Hisab-al Jabr wa-al-Muqabilah, ("Essay on the Computation of Casting and Equation") geschreven in de 9e eeuw door een Perzische wiskundige, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, die een moslim was die in Khwarizm in Oezbekistan was geboren. Hij bloeide op onder Al-Ma'moun in Bagdad, Irak tot 813-833 na Christus, en stierf rond 840 na Christus. Het boek werd in Europa gebracht en in de 12e eeuw in het Latijn vertaald. Het boek kreeg toen de naam 'Algebra'. (Het einde van de naam van de wiskundige, al-Khwarizmi, werd veranderd in een makkelijker te zeggen woord in het Latijn, en werd het Engelse woord algoritme).

Voorbeelden

Hier is een eenvoudig voorbeeld van een algebra probleem:

Sue heeft 12 snoepjes, en Ann heeft 24 snoepjes. Ze besluiten om te delen, zodat ze hetzelfde aantal snoepjes hebben. Hoeveel snoepjes zal elk van hen hebben?

Dit zijn de stappen die u kunt gebruiken om het probleem op te lossen:

  1. Om hetzelfde aantal snoepjes te hebben, moet Ann er een paar aan Sue geven. Laat x het aantal snoepjes vertegenwoordigen dat Ann aan Sue geeft.
  2. Sue's snoepjes, plus x, moeten hetzelfde zijn als Ann's snoepjes min x. Dit is geschreven als: 12 + x = 24 - x
  3. Trek 12 af van beide zijden van de vergelijking. Dit geeft: x = 12 - x. (Wat aan de ene kant van het gelijkheidsteken gebeurt, moet ook aan de andere kant gebeuren, wil de vergelijking nog waar zijn. Dus in dit geval was er bij het aftrekken van 12 van beide zijden een middenstap van 12 + x - 12 = 24 - x - 12. Nadat een persoon zich hiermee op zijn gemak voelt, wordt de middelste stap niet meer opgeschreven).
  4. Voeg x toe aan beide zijden van de vergelijking. Dit geeft: 2x = 12
  5. Deel beide zijden van de vergelijking door 2. Dit geeft x = 6. Het antwoord is zes. Als Ann Sue 6 snoepjes geeft, hebben ze hetzelfde aantal snoepjes.
  6. Om dit te controleren, zet je 6 terug in de oorspronkelijke vergelijking waar x was: 12 + 6 = 24 - 6
  7. Dit geeft 18=18, wat waar is. Ze hebben nu elk 18 snoepjes.

Met de praktijk kan algebra worden gebruikt wanneer men geconfronteerd wordt met een probleem dat te moeilijk is om op een andere manier op te lossen. Problemen zoals het bouwen van een snelweg, het ontwerpen van een mobiele telefoon of het vinden van een remedie voor een ziekte vereisen allemaal algebra.

Algebra schrijven

Zoals in de meeste delen van de wiskunde wordt het toevoegen van z aan y (of y plus z) geschreven als y + z. Het aftrekken van z van y (of y min z) wordt geschreven als y - z. Het delen van y door z (of y over z: y z {\playstyle y over z}{y \over z} ) wordt geschreven als y ÷ z of y/z. y/z wordt vaker gebruikt.

In algebra kan het vermenigvuldigen van y met z (of y maal z) op 4 manieren worden geschreven: y × z, y * z, y-z, of gewoon yz. Het vermenigvuldigingssymbool "×" wordt meestal niet gebruikt, omdat het te veel lijkt op de letter x, die vaak als variabele wordt gebruikt. Ook kunnen bij het vermenigvuldigen van een grotere uitdrukking haakjes worden gebruikt: y (z+1).

Als we een getal en een letter in algebra vermenigvuldigen, schrijven we het getal voor de letter: 5 × y = 5y. Als het getal 1 is, dan wordt de 1 niet geschreven omdat 1 keer een getal dat getal is (1 × y = y) en dus is het niet nodig.

Terzijde: je hoeft de letters x of y niet te gebruiken in de algebra. Variabelen zijn slechts symbolen die een onbekend getal of waarde betekenen, dus je kunt elke variabele gebruiken. x en y zijn echter de meest voorkomende.

Functies en grafieken

Een belangrijk onderdeel van algebra is de studie van functies, aangezien functies vaak voorkomen in vergelijkingen die we proberen op te lossen. Een functie is als een machine waar je een getal (of getallen) in kunt zetten en er een bepaald getal (of getallen) uit kunt halen. Bij het gebruik van functies kunnen grafieken een krachtig hulpmiddel zijn om de oplossingen van vergelijkingen te bestuderen.

Een grafiek is een afbeelding die alle waarden van de variabelen toont die de vergelijking of ongelijkheid waar maken. Meestal is dit eenvoudig te maken als er maar één of twee variabelen zijn. De grafiek is vaak een lijn, en als de lijn niet buigt of recht omhoog of omlaag gaat, kan deze worden beschreven met de basisformule y = mx + b. De variabele b is het y-onderscheid van de grafiek (waar de lijn de verticale as kruist) en m is de helling of steilte van de lijn. Deze formule is van toepassing op de coördinaten van een grafiek, waarbij elk punt op de lijn wordt geschreven (x, y).

In sommige rekenproblemen zoals de vergelijking voor een rechte kan er meer dan één variabele zijn (x en y in dit geval). Om punten op de lijn te vinden, wordt één variabele gewijzigd. De veranderde variabele wordt de "onafhankelijke" variabele genoemd. Vervolgens wordt de wiskunde gedaan om een getal te maken. Het getal dat wordt gemaakt wordt de "afhankelijke" variabele genoemd. Meestal wordt de onafhankelijke variabele geschreven als x en de afhankelijke variabele als y, bijvoorbeeld in y = 3x + 1. Dit wordt vaak op een grafiek gezet, met behulp van een x-as (die naar links en rechts gaat) en een y-as (die naar boven en beneden gaat). Het kan ook in functievorm worden geschreven: f(x) = 3x + 1. In dit voorbeeld zouden we dus 5 voor x kunnen zetten en y = 16 krijgen. Zet in 2 voor x zou y=7 krijgen. En 0 voor x zou y=1 krijgen. Er zou dus een lijn lopen door de punten (5,16), (2,7), en (0,1) zoals te zien is in de grafiek hiernaast.

Als x een kracht van 1 heeft, is het een rechte lijn. Als het een kwadraat of een andere kracht heeft, zal het gebogen zijn. Als het een ongelijkheid gebruikt (< of > ), dan wordt meestal een deel van de grafiek gearceerd, boven of onder de lijn.

Lineaire vergelijking voor y=3x+1
Lineaire vergelijking voor y=3x+1

Regels van de algebra

In algebra zijn er enkele regels die gebruikt kunnen worden voor een beter begrip van vergelijkingen. Deze worden de regels van algebra genoemd. Hoewel deze regels zinloos of voor de hand liggend lijken, is het verstandig om te begrijpen dat deze eigenschappen niet in alle takken van de wiskunde gelden. Daarom zal het nuttig zijn om te weten hoe deze axiomatische regels worden verklaard, alvorens ze als vanzelfsprekend te beschouwen. Alvorens over te gaan tot de regels, denk na over twee definities die zullen worden gegeven.

  1. Tegenovergestelde - het tegenovergestelde van een {\\\playstyle a} ais - een {\playstyle -a}-a .
  2. Wederkerig - de wederkerigheid van een speelstijl a ais 1 a a... {\frac {1}{a}}.

Regels

Commutatieve eigenschap van toevoeging

Commutatief" betekent dat een functie hetzelfde resultaat heeft als de getallen worden verwisseld. Met andere woorden, de volgorde van de termen in een vergelijking doet er niet toe. Wanneer de operator van twee termen een optelling is, is de 'commutatieve eigenschap van optelling' van toepassing. In algebraïsche termen geeft dit a + b = b + a {\playstyle a+b=b+a}a+b=b+a .

Merk op dat dit niet geldt voor de aftrekking! (d.w.z. a - b ≠ b - a {\\\neq b-a}a-b\neq b-a )

Commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging

Wanneer de exploitant van twee termen een vermenigvuldiging is, is de 'commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging' van toepassing. In algebraïsche termen geeft dit een b = b a {\cdot b=bcdot a}a\cdot b=b\cdot a .

Merk op dat dit niet geldt voor splitsing! (d.w.z. a b ≠ b a \frac {\frac {a}}neq {frac {b}) {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}wanneer een ≠ b {\\neq b}a\neq b )

Associatieve eigenschap van toevoeging

Met 'Associatief' wordt de groepering van getallen bedoeld. De associatieve eigenschap van optellen houdt in dat het bij het optellen van drie of meer termen niet uitmaakt hoe deze termen worden gegroepeerd. Algebraïsch gezien geeft dit a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\playstyle a+(b+c)=(a+b)+c}a+(b+c)=(a+b)+c . Merk op dat dit niet geldt voor aftrekken, bijvoorbeeld 1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\playstyle 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1}1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1 (zie de verdelingseigenschap).

Associatieve eigenschap van vermenigvuldiging

De associatieve eigenschap van vermenigvuldiging houdt in dat het bij het vermenigvuldigen van drie of meer termen niet uitmaakt hoe deze termen worden gegroepeerd. Algebraïsch gezien geeft dit een ( b c ) = ( a b ) c {\cdot c)=(acdot b)\cdot c} a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c. Merk op dat dit niet geldt voor divisie, bijv. 2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\cdot 2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2}2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2 .

Verdelend vermogen

De distributieve eigenschap geeft aan dat de vermenigvuldiging van een getal met een andere term kan worden verdeeld. Bijvoorbeeld: a ( b + c ) = a b + a c {\\cdot (b+c)=ab+ac}a\cdot (b+c)=ab+ac . (Verwar dit niet met de associatieve eigenschappen! Bijvoorbeeld, a ( b + c ) ≠ ( a b ) + c {\cdot (b+c)\neq (acdot b)+c}a\cdot (b+c)\neq (a\cdot b)+c .)

Additieve identiteitseigenschap

Identiteit" verwijst naar de eigenschap van een getal dat gelijk is aan zichzelf. Met andere woorden, er bestaat een bewerking van twee getallen zodat het gelijk is aan de variabele van de som. De additieve identiteitseigenschap stelt dat de som van een willekeurig getal en 0 dat getal is: a + 0 = a {\\playstyle a+0=a}a+0=a . Dit geldt ook voor aftrekken: a - 0 = a {\playstyle a-0=a}a-0=a .

Multiplicatieve identiteitseigendom

De multiplicatieve identiteitseigenschap stelt dat het product van een willekeurig getal en 1 dat getal is: een 1 = een {\\cdot 1=a}a\cdot 1=a . Dit geldt ook voor deling: a 1 = een {\frac {a}{1}=a}{\frac {a}{1}}=a .

Additieve omgekeerde eigenschap

De additieve inverse eigenschap lijkt enigszins op het tegenovergestelde van de additieve identiteitseigenschap. Wanneer een operatie de som is van een getal en het tegenovergestelde, en het is gelijk aan 0, dan is die operatie een geldige algebraïsche operatie. Algebraïsch stelt het volgende: a - a = 0 {\playstyle a-a=0}a-a=0 . Additief invers van 1 is (-1).

Multiplicatieve omgekeerde eigenschap

De multiplicatieve inverse eigenschap houdt in dat wanneer een bewerking het product is van een getal en zijn reciproke, en het is gelijk aan 1, die bewerking een geldige algebraïsche bewerking is. Algebraïsch stelt het volgende: a = 1 {\frac {a}{a}=1}{\frac {a}{a}}=1 . De vermenigvuldiging van 2 is 1/2.

Geavanceerde Algebra

Naast "elementaire algebra", of basisalgebra, zijn er geavanceerde vormen van algebra, die worden onderwezen in hogescholen en universiteiten, zoals abstracte algebra, lineaire algebra en universele algebra. Dit omvat het gebruik van een matrix om veel lineaire vergelijkingen in één keer op te lossen. Abstracte algebra is de studie van dingen die gevonden worden in vergelijkingen, die verder gaan dan getallen tot de meer abstracte met groepen getallen.

Veel wiskundeproblemen gaan over natuurkunde en techniek. In veel van deze natuurkundige problemen is tijd een variabele. De tijd gebruikt de letter t. Het gebruik van de basisideeën in algebra kan helpen om een wiskundeprobleem te reduceren tot zijn eenvoudigste vorm, waardoor het gemakkelijker wordt om moeilijke problemen op te lossen. Energie is e, kracht is f, massa is m, versnelling is a en snelheid van het licht is soms c. Dit wordt gebruikt in sommige beroemde vergelijkingen, zoals f = ma en e=mc^2 (hoewel er meer complexe wiskunde dan algebra nodig was om met die laatste vergelijking te komen).

Gerelateerde pagina's

  • Lijst van wiskundige onderwerpen
  • Volgorde van de werkzaamheden
  • Parabool
  • Computer Algebra Systeem
AlegsaOnline.com - 2020 - License CC3