In de algebra zijn er enkele regels die kunnen worden gebruikt om vergelijkingen beter te begrijpen. Dit worden de regels van de algebra genoemd. Hoewel deze regels zinloos of vanzelfsprekend lijken, is het verstandig te begrijpen dat deze eigenschappen niet voor alle takken van de wiskunde gelden. Daarom is het nuttig te weten hoe deze axiomatische regels worden verklaard, alvorens ze als vanzelfsprekend aan te nemen. Alvorens over te gaan tot de regels, moet u nadenken over twee definities die zullen worden gegeven.
- Tegenovergesteld: het tegenovergestelde van een {displaystyle a}
is - een {displaystyle -a}
. - Reciproque: het reciproque van een {displaystyle a} is 1 een {displaystyle {frac {1}{a}}}
.
Commutatieve eigenschap van optelling
Commutatief' betekent dat een functie hetzelfde resultaat heeft als de getallen worden verwisseld. Met andere woorden, de volgorde van de termen in een vergelijking doet er niet toe. Wanneer twee termen (addenda) worden opgeteld, geldt de "commutatieve eigenschap van optellen". In algebraïsche termen geeft dit a + b = b + a {{{}
.
Merk op dat dit niet geldt voor aftrekken (d.w.z. a - b ≠ b - a {{{³} b-a}
behalve als a = b {{³}
).
Commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging
Wanneer twee termen (factoren) worden vermenigvuldigd, geldt de "commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging". In algebraïsche termen geeft dit a ⋅ b = b ⋅ a {{displaystyle a=b = a}
.
Merk op dat dit niet geldt voor splitsing (d.w.z. a b ≠ b a {frac {a}{b}}} {frac {b}{a}}). 
, wanneer a ≠ 0 {{displaystyle a } }
en b ≠ 0 {{displaystyle b}
, behalve als a = b {{displaystyle a=b} ).
Associatieve eigenschap van optelling
Associatief verwijst naar het groeperen van getallen. De associatieve eigenschap van optellen houdt in dat het bij het optellen van drie of meer termen niet uitmaakt hoe deze termen zijn gegroepeerd. Algebraïsch gezien geeft dit a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {{{empty a+(b+c)=(a+b)+c}
. Merk op dat dit niet geldt voor aftrekken, bijv. 1 - ( 2 - 3 ) ≠ ( 1 - 2 ) - 3 {displaystyle 1-(2-3)\neq (1-2)-3}
(zie distributieve eigenschap).
Associatieve eigenschap van vermenigvuldiging
De associatieve eigenschap van vermenigvuldiging houdt in dat het bij vermenigvuldiging van drie of meer termen niet uitmaakt hoe deze termen zijn gegroepeerd. Algebraïsch gezien geeft dit a ( b c ) = ( a b ) c {{(bc)=(ab)c}
. Merk op dat dit niet geldt voor deling, bijvoorbeeld 1 / ( 2 / 4 ) ≠ ( 1 / 2 ) / 4 {\displaystyle 1/(2/4)\neq (1/2)/4}
.
Verdelende eigenschap
De distributieve eigenschap stelt dat de vermenigvuldiging van een term met een andere term kan worden verdeeld. Bijvoorbeeld: a ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a(b+c)=ab+ac}
. (Verwar dit niet met de associatieve eigenschappen! Bijvoorbeeld: a ( b + c ) ≠ ( a b ) + c {displaystyle a(b+c)\neq (ab)+c}
.)
Additieve identiteit
"Identiteit" verwijst naar de eigenschap van een getal dat het gelijk is aan zichzelf. Met andere woorden, er bestaat een bewerking van twee getallen zodat deze gelijk is aan de variabele van de som. De additieve identiteitseigenschap stelt dat elk getal plus 0 gelijk is aan dat getal: a + 0 = a {a+0=a}
. Dit geldt ook voor aftrekken: a - 0 = a {Displaystyle a-0=a}
.
Multiplicatieve identiteit
De vermenigvuldigende identiteitseigenschap stelt dat elk getal maal 1 dat getal is: a ⋅ 1 = a {displaystyle a{cdot 1=a}
. Dit geldt ook voor deling: a 1 = a {frac {a}{1}}=a}
.
Additieve inverse eigenschap
De additieve inverse eigenschap is zoiets als het tegenovergestelde van de additieve identiteit. Wanneer we een getal en zijn tegengestelde optellen, is het resultaat 0. Algebraïsch staat er het volgende: a + - a = 0 {displaystyle a+-a=0}. 
, wat hetzelfde is als a - a = 0 {displaystyle a-a=0}
. Bijvoorbeeld, de additieve inverse (of tegengestelde) van 1 is -1.
Multiplicatieve inverse eigenschap
De vermenigvuldigende inverse eigenschap betekent dat wanneer we een getal vermenigvuldigen met zijn inverse, de uitkomst 1 is. Algebraïsch staat er het volgende: a ⋅ 1 a = 1 {displaystyle a {frac {1}{a}}=1}. 
, wat hetzelfde is als a a = 1 {displaystyle {frac {a}{a}}=1}
. Bijvoorbeeld, de vermenigvuldigende inverse (of gewoon inverse) van 2 is 1/2. Om de inverse van een breuk te krijgen, verwisselt u de teller en de noemer: de inverse van 2 3 {displaystyle {2}{3}}}
is 3 2 {displaystyle {3}{2}}
.
. In dit voorbeeld is 
of het kan ook gezegd worden dat 
gelijk is aan vijf. Dit heet oplossen voor 
of 
) en kwadratische vergelijkingen, waarbij variabelen in het kwadraat zijn (vermenigvuldigd met zichzelf, bijvoorbeeld: 
, 
, of 
).
