Fermatgetallen: definitie, voorbeelden en priemfactoren

Leer alles over Fermatgetallen: definitie, voorbeelden en bekende priemfactoren. Ontdek welke Fermatprimes bestaan, hun factoren en recente factorizatie-resultaten.

Een Fermatnummer is een speciaal positief getal, vernoemd naar Pierre de Fermat. Voor een niet-negatief geheel getal n wordt het Fermatnummer gedefinieerd als

F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{overset {n}}}+1}

Kort en duidelijk: F_n = 2^{2^n} + 1. Voor de eerste waarden levert dat de volgende getallen (volgorde A000215 in de OEIS):

• F0 = 2¹ + 1 = 3
• F1 = 2² + 1 = 5
• F2 = 2⁴ + 1 = 17
• F3 = 2⁸ + 1 = 257
• F4 = 2¹⁶ + 1 = 65537
• F5 = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
• F6 = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
• F7 = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
• F8 = 2²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Belangrijke eigenschappen

Priemgevallen en Fermatprimes. Als 2^{2^n} + 1 priem is, spreekt men van een Fermatprime. Fermat vermoedde ooit dat alle F_n priem zouden zijn, maar dat bleek onjuist: Euler toonde aan dat F5 samengesteld is door te laten zien dat 641 een deler is (641 × 6700417 = F5). De enige bekende Fermatprimes zijn F0, F1, F2, F3 en F4.

Vorm van priemfactoren. Als een oneven priemgetal p een deler is van F_n, dan geldt:

• 2^{2^n} ≡ −1 (mod p), dus 2^{2^{n+1}} ≡ 1 (mod p).
• De multiplicatieve orde van 2 modulo p is precies 2ⁿ⁺¹, dus 2ⁿ⁺¹ deelt p−1.
• Daarom heeft elke priemdeling p de vorm p = k·2ⁿ⁺¹ + 1 (dus p ≡ 1 (mod 2ⁿ⁺¹)).

Onderlinge relativiteit (paargewijs priem). Fermatnummers zijn paargewijs coprim: voor m ≠ n geldt gcd(F_m, F_n) = 1. Een klassieke redenatie is de identiteitsrelatie

F_n − 2 = F₀ · F₁ · ... · F_n−1,

waaruit volgt dat elke gemeenschappelijke deler van F_n en een eerder Fermatnummer ook een deler van 2 moet zijn; omdat alle Fermatnummers oneven zijn, is de gcd = 1.

Geschiedenis en actuele status

Pierre de Fermat stelde in de 17e eeuw voor dat alle getallen van de vorm 2^{2^n}+1 priem zouden zijn; dat bleek onjuist toen Euler voor n = 5 een niet-triviale deler vond. Sindsdien zijn veel priemdivisoren en deelfactoren van hogere Fermatnummers gevonden, maar voor de meeste grote n is volledige factorisatie moeilijk.

Zoals in de oorspronkelijke tekst vermeld: vanaf 2007 zijn de eerste 12 Fermat-nummers volledig in rekening gebracht (geschreven als een product van priemgetallen). Sindsdien zijn voor hogere indices extra priemfactoren ontdekt, maar voor veel Fermat-nummers is de complete factorisatie nog onvolledig. Een actuele lijst met bekende priemfactoren en voortgang is te vinden in gespecialiseerde bronnen zoals databases met Prime Factors of Fermat Numbers.

Toepassingen

• Constructie van regelmatige veelhoeken. Carl Friedrich Gauss toonde aan dat een regelmatige veelhoek met n zijden met passer en lat (rechtlijnig en passer) construeerbaar is precies wanneer n gelijk is aan een macht van twee maal een product van verschillende Fermatprimes. Daarom gaf de primaliteit van F2 = 17 en F4 = 65537 historische voorbeelden van construeerbare veelhoeken (zoals de regelmatige 17-hoek).
• Cryptografische en getaltheoretische interesse. De bijzondere structuur van Fermatnummers maakt ze tot interessante voorbeelden bij onderzoek naar priemgetallen, orde van getallen modulo p en factorisatieroutines.

Open vragen

• Zijn er oneindig veel Fermatprimes? Dit is onbekend; tot nu toe zijn alleen F0–F4 priem en er zijn geen andere Fermatprimes gevonden.
• Wat is de volledige factorisatiedrang voor hogere Fermatnummers? Voor veel n blijft het vinden van alle priemfactoren computationeel uitdagend.

Voor meer details over concrete factorizaties en recente ontdekkingen verwijzen gespecialiseerde lijsten en onderzoeksartikelen; in het bijzonder zijn de pagina's met OEIS-informatie en overzichtspagina's over priemfactoren van Fermat-nummers nuttig voor wie dieper wil graven.

Zoek op letter