Fermatologisch nummer

Een Fermat nummer is een speciaal positief getal. Fermatnummers zijn vernoemd naar Pierre de Fermat. De formule die ze genereert is

F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{overset {n}}}+1} {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}

waarbij n een niet-negatief geheel getal is. De eerste negen Fermat-nummers zijn (volgorde A000215 in de OEIS):

F0 = 21 + 1 = 3

F1 = 22 + 1 = 5

F2 = 24 + 1 = 17

F3 = 28 + 1 = 257

F4 = 216 + 1 = 65537

F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Vanaf 2007 zijn alleen de eerste 12 Fermat-nummers volledig in rekening gebracht. (geschreven als een product van priemgetallen) Deze factoriseringen zijn te vinden bij Prime Factors of Fermat Numbers.

Als 2n + 1 is priemgetal, en n > 0, kan worden aangetoond dat n een macht van twee moet zijn. Elke priemgetal van de vorm 2n + 1 is een Fermat-nummer, en dergelijke priemgetallen worden Fermatprimes genoemd. De enige bekende Fermatprimes zijn F0,...,F4.

Interessante dingen over Fermat-nummers

  • Geen twee Fermat-nummers hebben een gemeenschappelijke deler.
  • Fermatologische cijfers kunnen recursief worden berekend: Om het Nth-nummer te krijgen, vermenigvuldigt u alle Fermat-nummers voor het Nth-nummer en telt u er twee bij de uitkomst op.

Waarvoor ze worden gebruikt

Vandaag de dag kunnen Fermat nummers worden gebruikt om willekeurige getallen te genereren, tussen 0 en enige waarde N, wat een kracht van 2 is.

Fermat's giswerk

Fermat, toen hij deze getallen bestudeerde, vermoedde dat alle Fermat-nummers priemgetallen waren. Dit werd bewezen door Leonhard Euler, die F 5 {\displaystyle F_{5}}in 1732 factoriseerde.

AlegsaOnline.com - 2020 - Licencia CC3