Getal (wiskunde)

Voor het boek in de Bijbel, zie Numeri (Bijbel).

Een getal is een begrip uit de wiskunde, dat wordt gebruikt om te tellen of te meten. Afhankelijk van het vakgebied van de wiskunde, waar getallen worden gebruikt, zijn er verschillende definities:

  • Mensen gebruiken symbolen om getallen weer te geven; ze noemen ze cijfers. Veel voorkomende plaatsen waar cijfers worden gebruikt zijn voor het labelen, zoals in telefoonnummers, voor het bestellen, zoals in serienummers, of om een unieke identificatie te plaatsen, zoals in een ISBN, een uniek nummer dat een boek kan identificeren.
  • Kaartnummers worden gebruikt om te meten hoeveel items er in een set zitten. {A,B,C} heeft maat "3".
  • Ordinale nummers worden gebruikt om een bepaald element in een set of reeks (eerste, tweede, derde) te specificeren.

Getallen worden ook gebruikt voor andere zaken zoals het tellen. Getallen worden gebruikt bij het meten van zaken. Getallen worden gebruikt om te bestuderen hoe de wereld werkt. Wiskunde is een manier om getallen te gebruiken om de wereld te leren kennen en dingen te maken. De studie van de regels van de natuurlijke wereld wordt wetenschap genoemd. Het werk dat gebruik maakt van getallen om dingen te maken heet engineering.


Een Sudoku-puzzel
Een Sudoku-puzzel

Nummeringsmethoden

Cijfers voor mensen

Er zijn verschillende manieren om symbolen te geven aan getallen. Deze methoden worden nummersystemen genoemd. Het meest voorkomende nummersysteem dat mensen gebruiken is het basistienummersysteem. Het basistienummersysteem wordt ook wel het decimale getallensysteem genoemd. Het basistienummersysteem is gebruikelijk omdat mensen tien vingers en tien tenen hebben. Er worden 10 verschillende symbolen {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9} gebruikt in het basistienummersysteem. Deze tien symbolen worden cijfers genoemd.

Een symbool voor een getal bestaat uit deze tien cijfers. De positie van de cijfers geeft aan hoe groot het getal is. Bijvoorbeeld, het getal 23 in het decimale getallenstelsel betekent echt (2 maal 10) plus 3, en 101 betekent 1 maal honderd (=100) plus 0 maal 10 (=0) plus 1 maal 1 (=1).

Aantallen voor machines

Een ander nummersysteem is gebruikelijker voor machines. Het machine-nummersysteem wordt het binaire nummersysteem genoemd. Het binaire nummersysteem wordt ook wel het basis-twee-nummersysteem genoemd. Er worden twee verschillende symbolen (0 en 1) gebruikt in het basis twee-nummersysteem. Deze twee symbolen worden bits genoemd.

Een symbool voor een binair getal bestaat uit deze twee bitsymbolen. De positie van de bitsymbolen geeft aan hoe groot het getal is. Bijvoorbeeld, het getal 10 in het binaire getallenstelsel betekent echt 1 keer 2 plus 0, en 101 betekent 1 keer vier (=4) plus 0 keer twee (=0) plus 1 keer 1 (=1). Het binaire getal 10 is hetzelfde als het decimale getal 2. Het binaire getal 101 is hetzelfde als het decimale getal 5.

Namen van nummers

Het Engels heeft speciale namen voor sommige getallen in het decimale getallensysteem die "powers of ten" zijn. Al deze krachten van tien getallen in het decimale getallenstelsel gebruiken alleen het symbool "1" en het symbool "0". Bijvoorbeeld, tien tienen is hetzelfde als tien keer tien, of honderd. In symbolen is dit "10 × 10 = 100". Ook is tien honderd hetzelfde als tien keer honderd, of duizend. In symbolen is dit "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Sommige andere krachten van tien getallen hebben ook speciale namen:

Wanneer het gaat om grotere getallen dan deze, zijn er twee verschillende manieren om de getallen in het Engels te benoemen. Onder de "long scale" wordt telkens een nieuwe naam gegeven als het getal een miljoen keer groter is dan het laatst genoemde getal. Het wordt ook wel de "British Standard" genoemd. Deze schaal was vroeger gebruikelijk in Groot-Brittannië, maar wordt tegenwoordig niet meer zo vaak gebruikt in Engelstalige landen. Het wordt nog steeds gebruikt in sommige andere Europese landen. Een andere schaal is de "korte schaal" waaronder een nieuwe naam wordt gegeven telkens als een getal duizend keer groter is dan het laatst genoemde getal. Deze schaal wordt tegenwoordig in de meeste Engelstalige landen veel vaker gebruikt.

  • 1.000.000.000 - een miljard (korte schaal), een miljard (lange schaal)
  • 1.000.000.000.000 - een biljoen (korte schaal), een miljard (lange schaal)
  • 1.000.000.000.000.000 - een quadriljoen (korte schaal), een biljart (lange schaal)

Soorten getallen

Natuurlijke getallen

Natuurlijke getallen zijn de getallen die we normaal gesproken gebruiken voor het tellen, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 etc. Sommige mensen zeggen dat 0 ook een natuurlijk getal is.

Een andere naam voor deze nummers is positief. Deze getallen worden soms als +1 geschreven om aan te geven dat ze afwijken van de negatieve getallen. Maar niet alle positieve getallen zijn natuurlijk (bijvoorbeeld 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}is positief, maar niet natuurlijk).

Als 0 een natuurlijk getal wordt genoemd, dan zijn de natuurlijke getallen gelijk aan de gehele getallen. Als 0 geen natuurlijk getal wordt genoemd, dan zijn de natuurlijke getallen gelijk aan de getelde getallen. Als de woorden "natuurlijke getallen" dus niet worden gebruikt, dan zal er minder verwarring zijn over het al dan niet opnemen van de nul. Maar helaas zeggen sommigen dat nul ook geen geheel getal is, en sommigen zeggen dat hele getallen negatief kunnen zijn. "Positieve gehele getallen" en "niet-negatieve gehele getallen" zijn een andere manier om een nul op te nemen of uit te sluiten, maar alleen als mensen die woorden kennen.

Negatieve cijfers

Negatieve getallen zijn getallen kleiner dan nul.

Een manier om aan negatieve getallen te denken is het gebruik van een nummerlijn. We noemen één punt op deze lijn nul. Dan labelen (schrijven we de naam van) elke positie op de lijn door hoe ver rechts van het nulpunt het is, bijvoorbeeld het punt één is een centimeter naar rechts, het punt twee is twee centimeter naar rechts.

Denk nu aan een punt dat een centimeter links van het nulpunt ligt. We kunnen dit punt niet één noemen, want er is al een punt dat één wordt genoemd. We noemen dit punt daarom min 1 (-1) (omdat het een centimeter verderop ligt, maar in de tegenovergestelde richting).

Hieronder staat een tekening van een getallenlijn.

Number line -6 to 6

Alle normale bewerkingen van de wiskunde kunnen met negatieve getallen worden uitgevoerd:

Als mensen een negatief getal bij een ander optellen, is dit hetzelfde als het positieve getal met dezelfde cijfers weghalen. Bijvoorbeeld, 5 + (-3) is hetzelfde als 5 - 3, en is gelijk aan 2.

Als ze een negatief getal van een ander wegnemen is dit hetzelfde als het optellen van het positieve getal met dezelfde cijfers. Bijvoorbeeld, 5 - (-3) is hetzelfde als 5 + 3, en is gelijk aan 8.

Als ze twee negatieve getallen samen vermenigvuldigen, krijgen ze een positief getal. Bijvoorbeeld, -5 keer -3 is 15.

Als ze een negatief getal vermenigvuldigen met een positief getal, of een positief getal vermenigvuldigen met een negatief getal, krijgen ze een negatief resultaat. Bijvoorbeeld, 5 keer -3 is -15.

Omdat het vinden van de vierkantswortel van een negatief getal onmogelijk is, omdat negatieve tijden negatief gelijk zijn aan possitve. We simboliseren de vierkantswortel van een negatief getal als i.

Integers

Integers zijn alle natuurlijke getallen, al hun tegenpolen, en het getal nul. Decimale getallen en breuken zijn geen gehele getallen.

Rationele cijfers

Rationele getallen zijn getallen die als breuken geschreven kunnen worden. Dit betekent dat ze kunnen worden geschreven als een gedeeld door b, waarbij de getallen a en b gehele getallen zijn, en b niet gelijk is aan 0.

Sommige rationele getallen, zoals 1/10, hebben een eindig aantal cijfers achter de komma nodig om ze in decimale vorm te schrijven. Het getal een tiende wordt in decimale vorm als 0,1 geschreven. Getallen die met een eindige decimale vorm worden geschreven zijn rationeel. Sommige rationele getallen, zoals 1/11, hebben een oneindig aantal cijfers achter de komma nodig om ze in decimale vorm te schrijven. Er is een herhalend patroon in de cijfers achter de decimale komma. Het getal een elfde wordt in decimale vorm geschreven als 0,0909090909 ... .

Een percentage zou een rationeel getal kunnen worden genoemd, omdat een percentage als 7% als de fractie 7/100 kan worden geschreven. Het kan ook worden geschreven als de decimale 0,07. Soms wordt een ratio beschouwd als een rationeel getal.

Irrationele getallen

Irrationele getallen zijn getallen die niet als een breuk kunnen worden geschreven, maar die geen denkbeeldige delen hebben (zie verderop).

Irrationele getallen komen vaak voor in de geometrie. Als we bijvoorbeeld een vierkant hebben met zijden van 1 meter, dan is de afstand tussen tegengestelde hoeken de vierkantswortel van twee, die gelijk is aan 1,414213 ... . Dit is een irrationeel getal. Wiskundigen hebben bewezen dat de vierkantswortel van elk natuurlijk getal een geheel getal of een irrationeel getal is.

Een bekend irrationeel getal is pi. Dit is de omtrek (afstand rond) van een cirkel gedeeld door de diameter (afstand overdwars). Dit getal is voor elke cirkel hetzelfde. Het getal pi is ongeveer 3,1415926535 ... .

Een irrationeel getal kan niet volledig in decimale vorm worden opgeschreven. Het zou een oneindig aantal cijfers achter de komma hebben. In tegenstelling tot 0,333333 ... zouden deze cijfers zich niet eeuwig herhalen.

Echte aantallen

Reële getallen is een naam voor alle hierboven genoemde reeksen getallen:

  • De rationele getallen, inclusief gehele getallen
  • De irrationele getallen

Dit zijn allemaal getallen die geen denkbeeldige getallen betreffen.

Verbeeldige getallen

Imaginaire getallen worden gevormd door reële getallen vermenigvuldigd met het getal i. Dit getal is de vierkantswortel van min één (-1).

Er is geen getal in de reële getallen dat bij het kwadraat het getal -1 maakt. Daarom hebben wiskundigen een getal uitgevonden. Ze noemden dit getal i, of de denkbeeldige eenheid.

Imaginaire getallen werken volgens dezelfde regels als echte getallen:

  • De som van twee denkbeeldige getallen wordt gevonden door de i uit te trekken (factoring out). Bijvoorbeeld, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
  • Het verschil van twee denkbeeldige getallen wordt op dezelfde manier gevonden. Bijvoorbeeld, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
  • Als u twee denkbeeldige getallen vermenigvuldigt, denk er dan aan dat i × i (i2) -1 is. Bijvoorbeeld, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Denkbeeldige getallen werden denkbeeldige getallen genoemd omdat veel wiskundigen, toen ze voor het eerst werden gevonden, dachten dat ze niet bestonden. De persoon die denkbeeldige getallen ontdekte was Gerolamo Cardano in de jaren 1500. De eerste die de woorden imaginair getal gebruikte was René Descartes. De eerste mensen die deze getallen gebruikten waren Leonard Euler en CarlFriedrich Gauss. Beiden leefden in de 18e eeuw.

Complexe getallen

Complexe getallen zijn getallen die twee delen hebben; een reëel deel en een imaginair deel. Elk type getal dat hierboven geschreven is, is ook een complex getal.

Complexe getallen zijn een meer algemene vorm van getallen. De complexe getallen kunnen worden getekend op een getallenvlak. Dit is samengesteld uit een reële getallenlijn, en een denkbeeldige getallenlijn.

            3i|_ |                  2                      i|_ . 2+2i | i|_ | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .                                                                               ________________________________________                                                                     3-i | .-2-2i -2i|_ | -3i|_ |                                                                                                

Alle normale wiskunde kan worden gedaan met complexe getallen:

  • Om twee complexe getallen toe te voegen, moet u de reële en denkbeeldige delen afzonderlijk optellen. Bijvoorbeeld, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
  • Om het ene complexe getal van het andere af te trekken, moeten het reële en het denkbeeldige deel afzonderlijk worden afgetrokken. Bijvoorbeeld, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Het vermenigvuldigen van twee complexe getallen is ingewikkeld. Het is het gemakkelijkst te beschrijven in algemene termen, met twee complexe getallen a + bi en c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\\mathrm {i}} = a × c+dathrm {i} = a × a × d i + a × dmathrm {i} +Mathmathrm... \Tijden c+bmathrm {i} \Tijdstip van de dmathrm... +Bcmathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} } {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Bijvoorbeeld, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transcendente getallen

Een reëel of complex getal wordt een transcendentaal getal genoemd als het niet kan worden verkregen als gevolg van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten.

a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\playstyle a_{n}x^{n}+dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0} {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Het kan uiterst moeilijk zijn om te bewijzen dat een bepaald aantal transcendent is. Elk transcendentaal getal is ook een irrationeel getal. De eerste mensen die zagen dat er transcendentale getallen waren, waren Gottfried Wilhelm Leibniz en Leonhard Euler. De eerste die daadwerkelijk bewees dat er transcendentale getallen waren was Joseph Liouville. Hij deed dit in 1844.

Bekende transcendente getallen:

  • e
  • π
  • ea voor algebraïsche a 0
  • 2 2...speelstijl 2...2...2...2...2...2...2...2...2...3...4..... {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}
√2 is irrationeel.
√2 is irrationeel.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3