Getal (wiskunde)

Nummeringsmethoden

Nummers voor mensen

Er zijn verschillende manieren om symbolen aan getallen te geven. Deze methoden worden getalsystemen genoemd. Het meest gebruikte getallenstelsel is het tientallig stelsel. Het tientallig stelsel wordt ook wel het decimale stelsel genoemd. Het tientallig stelsel is gebruikelijk omdat mensen tien vingers en tien tenen hebben. Er worden 10 verschillende symbolen {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9} gebruikt in het tientallig stelsel. Deze tien symbolen worden cijfers genoemd.

Een symbool voor een getal bestaat uit deze tien cijfers. De positie van de cijfers geeft aan hoe groot het getal is. Zo betekent het getal 23 in het decimale getallenstelsel in werkelijkheid (2 maal 10) plus 3. Evenzo betekent 101 1 maal honderd (=100) plus 0 maal 10 (=0) plus 1 maal 1 (=1).

Nummers voor machines

Een ander getallenstelsel is gebruikelijker voor machines. Het getallenstelsel voor machines wordt het binaire getallenstelsel genoemd. Het binaire getallenstelsel wordt ook wel het basis-twee-tallenstelsel genoemd. Er worden twee verschillende symbolen (0 en 1) gebruikt in het basistwee getallenstelsel. Deze twee symbolen worden bits genoemd.

Een symbool voor een binair getal bestaat uit deze twee bitsymbolen. De positie van de bitsymbolen geeft aan hoe groot het getal is. Zo betekent het getal 10 in het binaire getallenstelsel eigenlijk 1 maal 2 plus 0, en 101 betekent 1 maal vier (=4) plus 0 maal twee (=0) plus 1 maal 1 (=1). Het binaire getal 10 is hetzelfde als het decimale getal 2. Het binaire getal 101 is hetzelfde als het decimale getal 5.

 

Namen van getallen

Het Engels heeft speciale namen voor sommige getallen in het decimale getallenstelsel die "machten van tien" zijn. Al deze machten van tien in het decimale getallenstelsel gebruiken alleen het symbool "1" en het symbool "0". Bijvoorbeeld, tien tienen is hetzelfde als tien keer tien, of honderd. In symbolen is dit "10 × 10 = 100". Ook tien honderdjes is hetzelfde als tien keer honderd, of duizend. In symbolen is dit "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Sommige andere machten van tien hebben ook speciale namen:

• 1 - een
• 10 - tien
• 100 - honderd
• 1.000 - duizend
• 1.000.000 - een miljoen

Bij grotere getallen dan dit zijn er twee verschillende manieren om de getallen in het Engels te benoemen. Bij de "lange schaal" wordt telkens een nieuwe naam gegeven wanneer het getal een miljoen keer groter is dan het laatst genoemde getal. Dit wordt ook wel de "British Standard" genoemd. Deze schaal was vroeger gebruikelijk in Groot-Brittannië, maar wordt tegenwoordig niet vaak meer gebruikt in Engelstalige landen. In sommige andere Europese landen wordt hij nog wel gebruikt.

Een andere schaal is de "korte schaal", waarbij telkens een nieuwe naam wordt gegeven als een getal duizend keer groter is dan het laatst genoemde getal. Deze schaal is tegenwoordig veel gebruikelijker in de meeste Engelssprekende landen.

• 1.000.000.000 - een miljard (korte schaal), een milliard (lange schaal)
• 1.000.000.000.000 - een biljoen (korte schaal), een miljard (lange schaal)
• 1.000.000.000.000.000 - een quadriljoen (korte schaal), een biljard (lange schaal)

 

Soorten getallen

Natuurlijke getallen

Natuurlijke getallen zijn de getallen die wij normaal gesproken gebruiken om te tellen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, enz. Sommige mensen zeggen dat 0 ook een natuurlijk getal is. De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt geschreven als N {mathbb {N} } .

Een andere naam voor deze getallen is positieve getallen. Deze getallen worden soms geschreven als +1 om aan te geven dat ze anders zijn dan de negatieve getallen. Maar niet alle positieve getallen zijn natuurlijk (bijvoorbeeld, 1 2 {tfrac {1}{2}}} is positief, maar niet natuurlijk).

Als 0 een natuurlijk getal wordt genoemd, dan zijn de natuurlijke getallen hetzelfde als de gehele getallen. Als 0 geen natuurlijk getal wordt genoemd, dan zijn de natuurlijke getallen hetzelfde als de telgetallen. Dus als de woorden "natuurlijke getallen" niet worden gebruikt, dan is er minder verwarring over de vraag of nul er wel of niet onder valt. Maar helaas zeggen sommigen dat nul geen geheel getal is, terwijl anderen zeggen dat gehele getallen negatief kunnen zijn. "Positieve gehele getallen" en "niet-negatieve gehele getallen" zijn een andere manier om nul op te nemen of uit te sluiten, maar alleen als mensen die woorden kennen.

Negatieve getallen

Negatieve getallen zijn getallen kleiner dan nul.

Een manier om aan negatieve getallen te denken is het gebruik van een getallenlijn. Eén punt op deze lijn noemen we nul. Vervolgens labelen (schrijven we de naam van) elke positie op de lijn met hoe ver rechts van het nulpunt is. Het punt één is bijvoorbeeld één centimeter naar rechts, en het punt twee is twee centimeter naar rechts.

Het punt één centimeter links van het nulpunt kan echter geen punt één zijn, omdat er al een punt één bestaat. Daarom noemen we dit punt min één (-1, want het is één centimeter verwijderd, maar in de tegenovergestelde richting).

Hieronder staat een tekening van een getallenlijn.

Alle normale bewerkingen van de wiskunde kunnen worden uitgevoerd met negatieve getallen:

• Een negatief getal optellen bij een ander is hetzelfde als het positieve getal met dezelfde cijfers weghalen. Bijvoorbeeld, 5 + (-3) is hetzelfde als 5 - 3, en is gelijk aan 2.
• Een negatief getal wegnemen van een ander is hetzelfde als het positieve getal met dezelfde cijfers optellen. Bijvoorbeeld, 5 - (-3) is hetzelfde als 5 + 3, en is gelijk aan 8.
• Als u twee negatieve getallen met elkaar vermenigvuldigt, krijgt u een positief getal. Bijvoorbeeld, -5 maal -3 is 15.
• Een negatief getal vermenigvuldigen met een positief getal, of een positief getal vermenigvuldigen met een negatief getal, geeft een negatief resultaat. Bijvoorbeeld, 5 keer -3 is -15.

Aangezien de vierkantswortel van een negatief getal onmogelijk is voor reële getallen (aangezien negatief maal negatief gelijk is aan positief voor reële getallen), krijgt de vierkantswortel van -1 een speciale naam: i. Deze wordt ook wel de imaginaire eenheid genoemd.

Getallen

Gehele getallen zijn alle natuurlijke getallen, al hun tegengestelden en het getal nul. Decimale getallen en breuken zijn geen gehele getallen.

Rationale getallen

Rationale getallen zijn getallen die kunnen worden geschreven als breuken. Dit betekent dat ze kunnen worden geschreven als a gedeeld door b, waarbij de getallen a en b gehele getallen zijn, en b niet nul is.

Sommige rationale getallen, zoals 1/10, hebben een eindig aantal cijfers achter de komma nodig om ze in decimale vorm te schrijven. Het getal een tiende wordt in decimale vorm geschreven als 0,1. Getallen met een eindige decimale vorm zijn rationaal. Sommige rationale getallen, zoals 1/11, hebben een oneindig aantal cijfers achter de komma nodig om ze in decimale vorm te schrijven. Er is een repeterend patroon in de cijfers achter de komma. Het getal één elfde wordt in decimale vorm geschreven als 0,0909090909 ... .

Een percentage kan een rationaal getal worden genoemd, omdat een percentage als 7% kan worden geschreven als de breuk 7/100. Het kan ook worden geschreven als het decimaal getal 0,07. Het kan ook worden geschreven als de decimaal 0,07. Soms wordt een verhouding beschouwd als een rationaal getal.

Irrationele getallen

Irrationele getallen zijn getallen die niet als breuk kunnen worden geschreven, maar geen imaginaire delen hebben (later uitgelegd).

Irrationele getallen komen vaak voor in de meetkunde. Als wij bijvoorbeeld een vierkant hebben met zijden van 1 meter, is de afstand tussen de tegenoverliggende hoeken de vierkantswortel van twee, ofwel 1,414213 ... . Dit is een irrationeel getal. Wiskundigen hebben bewezen dat de vierkantswortel van elk natuurlijk getal ofwel een geheel getal ofwel een irrationaal getal is.

Een bekend irrationeel getal is pi. Dit is de omtrek (afstand rondom) van een cirkel gedeeld door de diameter (afstand aan de overkant). Dit getal is voor elke cirkel hetzelfde. Het getal pi is ongeveer 3,1415926535 ... .

Een irrationeel getal kan niet volledig worden opgeschreven in decimale vorm. Het zou een oneindig aantal cijfers achter de komma hebben, en in tegenstelling tot 0,333333 ... zouden deze cijfers zich niet eeuwig herhalen.

Reële getallen

Reële getallen is een naam voor alle bovengenoemde verzamelingen getallen:

• De rationale getallen, met inbegrip van de gehele getallen
• De irrationale getallen

De reële getallen vormen de reële lijn. Dit zijn alle getallen waarin geen imaginaire getallen voorkomen.

Imaginaire getallen

Imaginaire getallen worden gevormd door reële getallen vermenigvuldigd met het getal i. Dit getal is de vierkantswortel van min één (-1).

Er is geen getal in de reële getallen dat bij kwadrateren het getal -1 maakt. Daarom hebben de wiskundigen een getal uitgevonden. Zij noemden dit getal i, of de imaginaire eenheid.

Voor imaginaire getallen gelden dezelfde regels als voor reële getallen:

• De som van twee imaginaire getallen wordt gevonden door de i eruit te trekken (factoriseren). Bijvoorbeeld, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Het verschil van twee imaginaire getallen wordt op dezelfde manier gevonden. Bijvoorbeeld, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Wanneer u twee imaginaire getallen met elkaar vermenigvuldigt, moet u onthouden dat i × i (i² ) -1 is. Bijvoorbeeld, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Denkbeeldige getallen werden denkbeeldig genoemd omdat veel wiskundigen, toen ze voor het eerst werden gevonden, dachten dat ze niet bestonden. De persoon die imaginaire getallen ontdekte was Gerolamo Cardano in de jaren 1500. De eerste die het woord imaginair getal gebruikte was René Descartes. De eerste mensen die deze getallen gebruikten waren Leonard Euler en Carl Friedrich Gauss. Beiden leefden in de 18e eeuw.

Complexe getallen

Complexe getallen zijn getallen die uit twee delen bestaan: een reëel deel en een imaginair deel. Elk type getal dat hierboven geschreven is, is ook een complex getal.

Complexe getallen zijn een meer algemene vorm van getallen. De complexe getallen kunnen worden getekend op een getallenvlak. Dit bestaat uit een reële getallenlijn en een imaginaire getallenlijn.

3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | | i|_ | | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ | |

Alle normale wiskunde kan worden gedaan met complexe getallen:

• Om twee complexe getallen op te tellen, telt u de reële en imaginaire delen afzonderlijk op. Bijvoorbeeld, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Om een complex getal van een ander complex getal af te trekken, trekt u de reële en imaginaire delen afzonderlijk af. Bijvoorbeeld, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Het vermenigvuldigen van twee complexe getallen is ingewikkelder. Het is het gemakkelijkst te beschrijven in algemene termen, met twee complexe getallen a + bi en c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\mathrm {i} +b. mathrm {i} \times c+bmathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc \mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Bijvoorbeeld, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transcendentale getallen

Een reëel of complex getal wordt een transcendentaal getal genoemd als het niet kan worden verkregen als resultaat van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Bewijzen dat een bepaald getal transcendentaal is, kan uiterst moeilijk zijn. Elk transcendentaal getal is ook een irrationaal getal. De eersten die zagen dat er transcendentale getallen bestonden, waren Gottfried Wilhelm Leibniz en Leonhard Euler. De eerste die daadwerkelijk bewees dat er transcendentale getallen bestonden, was Joseph Liouville. Hij deed dit in 1844.

Enkele bekende transcendentale getallen zijn:

• e
• π
• e^a voor algebraïsch a ≠ 0
• 2 2 {displaystyle 2^{{sqrt {2}}}

 
√2 is irrationeel.  

Gerelateerde pagina's

• Namen van getallen in het Engels