Priemgetal | natuurlijk getal van een bepaalde soort

Een priemgetal is een natuurlijk getal van een bepaalde soort. Elk natuurlijk getal is gelijk aan 1 maal zichzelf. Als het getal gelijk is aan elk ander natuurlijk getal vermenigvuldigd, dan wordt het getal een samengesteld getal genoemd. Het kleinste samengestelde getal is 4, want 2 x 2 = 4. 1 is geen samengesteld getal. Elk ander getal is een priemgetal. De priemgetallen zijn de andere getallen dan 1 die niet gelijk zijn aan m × n $m\times n$ (behalve 1 maal zichzelf). Het kleinste priemgetal is 2. De volgende priemgetallen zijn 3, 5, 7, 11 en 13. Er is geen grootste priemgetal. Er is geen grootste priemgetal. De verzameling priemgetallen wordt soms geschreven als P {P} } $\mathbb {P}$ .

De fundamentele stelling van de rekenkunde stelt dat elk positief geheel getal op een unieke manier kan worden geschreven als een product van priemgetallen, hoewel de manier waarop de priemgetallen voorkomen een moeilijk probleem is voor wiskundigen. Wanneer een getal groter is, is het moeilijker om te weten of het een priemgetal is. Een van de antwoorden is de stelling van het priemgetal. Een van de onopgeloste problemen is het vermoeden van Goldbach.

Een van de beroemdste wiskundigen uit de klassieke tijd, Euclides, heeft een bewijs vastgelegd dat er geen grootste priemgetal bestaat. Veel wetenschappers en wiskundigen zijn echter nog steeds op zoek naar dit bewijs in het kader van de "Great Internet Mersenne Prime Search".

Hier is een andere manier om aan priemgetallen te denken. Het getal 12 is niet priem, want er kan een rechthoek worden gemaakt met zijden van 4 en 3. Deze rechthoek heeft een oppervlakte van 12, omdat alle 12 blokken worden gebruikt. Dit kan niet met 11. Hoe de rechthoek ook wordt ingericht, er blijven altijd blokjes over, behalve in de rechthoek met zijden van lengte 11 en 1. 11 moet dus een priemgetal zijn.

Hoe kleine priemgetallen te vinden

Er is een eenvoudige methode om een lijst van priemgetallen te vinden. Eratosthenes heeft die bedacht. Het heeft de naam Zeef van Eratosthenes. Het vangt getallen op die niet priem zijn (zoals een zeef), en laat de priemgetallen door.

De methode werkt met een lijst getallen, en een speciaal getal, b genaamd, dat tijdens de methode verandert. Terwijl men de methode doorloopt, omcirkelt men sommige getallen in de lijst en streept andere door. Elk omcirkeld getal is een priemgetal en elk doorgestreept getal is samengesteld. In het begin zijn alle getallen gewoon: niet omcirkeld en niet doorgestreept.

De methode is altijd dezelfde:

Schrijf op een vel papier alle gehele getallen van 2 tot en met het getal dat wordt getest. Schrijf het getal 1 niet op. Ga naar de volgende stap.
Begin met b gelijk aan 2. Ga naar de volgende stap.
Omcirkel b in de lijst. Ga naar de volgende stap.
Begin bij b, tel nog eens b op in de lijst en streep dat getal door. Herhaal dit tot het einde van de lijst. Ga naar de volgende stap.

(Bijvoorbeeld: Als b 2 is, omcirkelt u 2 en streept u 4, 6, 8, enzovoort door. Als b gelijk is aan 3, omcirkelt u 3 en streept u 6, 9, 12, enzovoort door. 6 en 12 zijn al doorgestreept. Streep ze opnieuw door).

Verhoog b met 1. Ga naar de volgende stap.
Als b is doorgestreept, ga dan terug naar de vorige stap. Als b een getal in de lijst is dat niet is doorgestreept, ga dan naar de 3e stap. Als b niet in de lijst voorkomt, ga dan naar de laatste stap.
(Dit is de laatste stap.) U bent klaar. Alle priemgetallen zijn omcirkeld en alle samengestelde getallen zijn doorgestreept.

Men kan deze methode bijvoorbeeld toepassen op een lijst met getallen van 2 tot 10. Uiteindelijk zullen de getallen 2, 3, 5 en 7 omcirkeld zijn. Dit zijn priemgetallen. De getallen 4, 6, 8, 9 en 10 worden doorgestreept. Dit zijn samengestelde getallen.

Deze methode of dit algoritme duurt te lang om zeer grote priemgetallen te vinden. Ze is echter minder ingewikkeld dan methoden die worden gebruikt voor zeer grote priemgetallen, zoals de primaliteitstest van Fermat (een test om te zien of een getal al dan niet priem is) en de Miller-Rabin primaliteitstest.

Waarvoor worden priemgetallen gebruikt

Priemgetallen zijn zeer belangrijk in de wiskunde en de informatica. Zeer lange getallen zijn moeilijk op te lossen. Het is moeilijk om hun priemfactoren te vinden, dus meestal worden getallen die waarschijnlijk priem zijn gebruikt voor encryptie en geheime codes. Bijvoorbeeld:

De meeste mensen hebben een bankkaart, waarmee ze via een geldautomaat geld van hun rekening kunnen halen. Deze kaart wordt beschermd door een geheime toegangscode. Omdat de code geheim moet blijven, kan hij niet in cleartext op de kaart worden opgeslagen. Er wordt encryptie gebruikt om de code op een geheime manier op te slaan. Deze versleuteling maakt gebruik van vermenigvuldigingen, delingen en het vinden van resten van grote priemgetallen. In de praktijk wordt vaak een algoritme gebruikt dat RSA heet. Het maakt gebruik van het Chinese restanttheorema.

Als iemand een digitale handtekening voor zijn e-mail heeft, wordt encryptie gebruikt. Dit zorgt ervoor dat niemand een e-mail van hem of haar kan vervalsen. Voor de ondertekening wordt een hashwaarde van het bericht gecreëerd. Deze wordt vervolgens gecombineerd met een digitale handtekening om een ondertekend bericht te produceren. De gebruikte methoden zijn min of meer dezelfde als in het eerste geval hierboven.

Het vinden van het grootste bekende priemgetal is in de loop der jaren een soort sport geworden. Testen of een getal priem is, kan moeilijk zijn als het getal groot is. De grootste priemgetallen die op enig moment bekend zijn, zijn meestal Mersenne-priemgetallen, omdat de snelst bekende test voor primaliteit de Lucas-Lehmer-test is, die gebaseerd is op de speciale vorm van Mersenne-getallen.

Gerelateerde pagina's

Coprime
Lijst van priemgetallen
Palindroompriem
Prime factorisatie
Wilson prime

Vragen en antwoorden

V: Wat is een priemgetal?

A: Een priemgetal is een natuurlijk getal dat niet gedeeld kan worden door andere natuurlijke getallen behalve 1 en zichzelf.

V: Wat is het kleinste samengestelde getal?

A: Het kleinste samengestelde getal is 4, want 2 x 2 = 4.

V: Wat zijn de volgende priemgetallen na 2?

A: De volgende priemgetallen na 2 zijn 3, 5, 7, 11 en 13.

V: Bestaat er een grootste priemgetal?

A: Nee, er is geen grootste priemgetal. De verzameling priemgetallen is oneindig.

V: Wat stelt de fundamentele stelling van de rekenkunde?

A: De fundamentele stelling van de rekenkunde stelt dat elk positief geheel getal op een unieke manier kan worden geschreven als een product van priemgetallen.

V: Wat is het vermoeden van Goldbach?

A: Het vermoeden van Goldbach is een onopgelost probleem in de wiskunde dat stelt dat elk even geheel getal groter dan twee kan worden uitgedrukt als de som van twee priemgetallen.

V: Wie legde het bewijs vast dat er geen grootste priemgetal bestaat?

A: Euclides legde het bewijs vast dat er geen grootste priemgetal was.