Fractal
Een fractal is een patroon dat, wanneer het als een afbeelding wordt gezien, een beeld oplevert dat, wanneer erop wordt ingezoomd, nog steeds hetzelfde beeld oplevert. Het kan in delen worden geknipt die eruit zien als een kleinere versie van het plaatje waarmee werd begonnen. Het woord fractal werd in 1975 door Benoît Mandelbrot gemaakt van het Latijnse woord fractus, dat "gebroken" of "gebroken" betekent. Een eenvoudig voorbeeld is een boom die zich vertakt in kleinere takken, en die takken weer in kleinere takken enzovoort. Fractals zijn niet alleen mooi, maar hebben ook veel praktische toepassingen.
Een Sierpinski driehoek, na 7 iteraties.
De Mandelbrotverzameling is een beroemd voorbeeld van een fractal.
Voorbeelden
Er zijn vele soorten fractals, op zeer uiteenlopende manieren gemaakt. Een voorbeeld is de Sierpinski-driehoek, waar binnen de grote driehoek een oneindig aantal kleine driehoekjes ligt. Een ander voorbeeld is de Mandelbrotverzameling, genoemd naar Benoît Mandelbrot. De Sierpinksi-driehoek is opgebouwd uit patronen, maar de Mandelbrot-verzameling is gebaseerd op een vergelijking.
Er zijn ook veel natuurlijke voorbeelden van fractals in de natuur, zoals bomen, sneeuwvlokken, sommige groenten en kustlijnen.
De Koch Curve
De Koch Curve is een eenvoudig voorbeeld van een fractal. Begin eerst met een deel van een rechte lijn - een rechte lijnstuk genoemd. Snijd de lijn in 3 stukken van dezelfde grootte. Haal het midden van die stukken weg, en zet er het bovenste deel van een driehoek in met zijden die even lang zijn als het weg te snijden stuk. We hebben nu 4 lijnstukken die elkaar aan de uiteinden raken. We kunnen nu wat we net deden met het eerste lijnstuk doen met elk van de 4 stukjes. We kunnen nu hetzelfde steeds opnieuw doen met alle bits die we hebben. We doen dit nu voor eeuwig en kijken wat we uiteindelijk hebben.
De lengte van de Koch Curve is oneindig, en de oppervlakte van de Koch Curve is nul. Dit is heel vreemd. Een lijnstuk (met dimensie 1) kan een lengte hebben van 1, maar het heeft een oppervlakte van 0. Een vierkant van lengte 1 en breedte 1 (met dimensie 2) zal oppervlakte 1 hebben en lengte oneindig.
Gelijkenis dimensie
De Koch Curve lijkt dus groter te zijn dan iets van dimensie 1, en kleiner dan iets van dimensie 2. Het idee van de similariteitsdimensie is om een dimensie te geven die een beter idee geeft van lengte of oppervlakte voor fractals. Dus, voor een Koch Curve, willen we een dimensie tussen 1 en 2.
De Koch Curve kan in vier stukken worden geknipt, die elk 1 3 {\displaystyle {{1}{3}}
van de grootte van het origineel zijn. Het aantal stukken waarin een fractal kan worden geknipt noemen we N {\displaystyle N}
, en het verschil in grootte noemen we B {\displaystyle B}
. Die plaatsen we in de vergelijking:
log N - log B {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}} 
Waarbij log {\log}
de logaritme van een getal is. Dit getal is de Hausdorff dimensie van de fractal. In de Koch Curve, is dit log 4 - log 1 3 = 1.2619... {\displaystyle {\frac {\log 4}{-log {\frac {1}{3}}}}=1.2619... 
zoals we wilden.
De Koch Curve is een van de eenvoudigste fractal vormen, en zijn dimensie is dus gemakkelijk te berekenen. De similariteitsdimensie en de Hausdorff-dimensie zijn beide gelijk. Dit geldt niet voor meer complexe fractals.
Koch sneeuwvlok
De Koch sneeuwvlok (of Koch ster) is hetzelfde als de Koch kromme, behalve dat het begint met een gelijkzijdige driehoek in plaats van een lijnstuk.
Hoe maak je de Koch Curve
Gebruikt
Fractals hebben vele toepassingen, bijvoorbeeld in de biologie (longen, nieren, hartslagvariabiliteit, enz...), bij aardbevingen, in de financiële wereld waar zij verband houden met de zogenaamde zware staartdistributies en in de natuurkunde. Dit wijst erop dat fractals bestudeerd moeten worden om te begrijpen waarom fractals zo vaak voorkomen in de natuur.Sommige fractals bestaan alleen om artistieke redenen, maar andere zijn zeer nuttig. Fractals zijn zeer efficiënte vormen voor radioantennes en worden gebruikt in computerchips om alle componenten efficiënt met elkaar te verbinden. Ook kustlijnen kunnen worden beschouwd als fractals.
Vragen en antwoorden
V: Wat is een fractal?
A: Een fractal is een patroon dat, gezien als een afbeelding, een beeld oplevert dat nog steeds hetzelfde beeld oplevert als je erop inzoomt.
V: Wie heeft de term "fractal" bedacht?
A: Benoît Mandelbrot heeft in 1975 de term "fractal" bedacht.
V: Wat is de etymologie van het woord "fractal"?
A: Het woord "fractal" is afgeleid van het Latijnse woord "fractus", wat "gebroken" of "gebroken" betekent.
V: Kunnen fractals in stukken worden geknipt?
A: Ja, fractals kunnen in delen worden geknipt die eruit zien als een kleinere versie van de afbeelding waarmee ze begonnen.
V: Kunt u een voorbeeld geven van een fractal?
A: Een eenvoudig voorbeeld van een fractal is een boom die zich vertakt in kleinere takken, en die weer in kleinere takken enzovoort.
V: Welke praktische toepassingen hebben fractals?
A: Fractals hebben veel praktische toepassingen, zoals in computerafbeeldingen, geneeskunde, natuurkunde en financiën.
V: Waarom zijn fractals belangrijk?
A: Fractals zijn belangrijk omdat ze ons kunnen helpen om complexe natuurverschijnselen te begrijpen en om nauwkeurigere modellen en simulaties te maken.
