Logaritme | wiskunde

Logaritmen werden voor het eerst gebruikt in India in de 2e eeuw voor Christus. De eerste die logaritmen in de moderne tijd gebruikte was de Duitse wiskundige Michael Stifel (rond 1487-1567). In 1544 schreef hij de volgende vergelijkingen op: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} en q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}{q^{n}}}=q^{m-n}}. . Dit is de basis voor het begrijpen van logaritmen. Voor Stifel moesten m en n hele getallen zijn. John Napier (1550-1617) wilde deze beperking niet, en wilde een bereik voor de exponenten.

Volgens Napier drukken logaritmen verhoudingen uit: a {\displaystyle a} heeft dezelfde verhouding tot b {\displaystyle b} , als c {\displaystyle c} tot d {\displaystyle d} als het verschil van hun logaritmen overeenkomt. Wiskundig: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-log(b)=\log(c)-log(d)} . In het begin werd de basis e gebruikt (hoewel het getal nog geen naam had). Henry Briggs stelde voor om 10 te gebruiken als basis voor logaritmen, dergelijke logaritmen zijn zeer nuttig in de astronomie.

Een logaritme vertelt welke exponent (of macht) nodig is om een bepaald getal te maken, dus logaritmen zijn het omgekeerde (tegenovergestelde) van exponentia.

Net zoals een exponentiële functie uit drie delen bestaat, bestaat ook een logaritme uit drie delen: een basis, een argument en een antwoord (ook wel macht genoemd).

Hieronder volgt een voorbeeld van een exponentiële functie:

2 3 = 8.

In deze functie is de basis 2, het argument 3 en het antwoord 8.

Deze exponentiële vergelijking heeft een inverse, de logaritmische vergelijking:

log 2 ( 8 ) = 3 {playstyle \log _{2}(8)=3}.

In deze vergelijking is de basis 2, het argument 8 en het antwoord 3.

Optellen heeft één inverse bewerking: aftrekken. Ook vermenigvuldiging heeft één inverse bewerking: de deling. Exponentiëren heeft echter twee inverse bewerkingen: wortel en logaritme. De reden hiervoor is dat de exponentiatie niet commutatief is.

Het volgende voorbeeld illustreert dit:

• Als x+2=3, dan kan men met aftrekken vaststellen dat x=3-2. Dit is hetzelfde als 2+x=3: men krijgt ook x=3-2. Dit komt omdat x+2 hetzelfde is als 2+x.
• Als x - 2=3, dan krijgt men door deling x= 3 2 {textstyle {\frac {3}{2}}} . Hetzelfde geldt als 2 - x=3: dan krijgt men ook x= 3 2 {textstyle {frac {3}{2}}} . Dit komt omdat x - 2 hetzelfde is als 2 - x.
• Als x²=3, dan kan men de (vierkants)wortel gebruiken om uit te vinden dat x = 3 . Als echter 2^x =3, dan kan men de wortel niet gebruiken om x te berekenen. Men moet dan de (binaire) logaritme gebruiken om te berekenen dat x=log₂ (3).
  Dit komt omdat 2^x meestal niet hetzelfde is als x² (bijvoorbeeld 2⁵ =32 maar 5²=25).

Logaritmen kunnen het vermenigvuldigen en delen van grote getallen vergemakkelijken, omdat het optellen van logaritmen hetzelfde is als vermenigvuldigen, en het aftrekken van logaritmen hetzelfde is als delen.

Voordat rekenmachines populair en algemeen werden, gebruikten mensen logaritmetabellen in boeken om te vermenigvuldigen en te delen. Dezelfde informatie in een logaritmetabel was beschikbaar op een rekenliniaal, een instrument met logaritmen erop geschreven.

Naast berekeningen heeft de logaritme ook vele andere reële toepassingen:

• Logaritmische spiralen komen veel voor in de natuur. Voorbeelden hiervan zijn de schelp van een nautilus, of de rangschikking van zaden op een zonnebloem.
• In de scheikunde is het negatief van de basis-10 logaritme van de activiteit van hydroniumionen (H₃ O⁺ , de vorm die H⁺ aanneemt in water) de maat die bekend staat als pH. De activiteit van hydroniumionen in neutraal water is 10⁻⁷ mol/L bij 25 °C, dus een pH van 7. (Dit is een gevolg van het feit dat de evenwichtsconstante, het product van de concentratie van hydroniumionen en hydroxylionen, in wateroplossingen 10⁻¹⁴ M² is).
• De schaal van Richter meet de intensiteit van aardbevingen op een logaritmische basis-10 schaal.
• In de sterrenkunde meet de schijnbare magnitude de helderheid van sterren logaritmisch, omdat het oog ook logaritmisch op helderheid reageert.
• Muzikale intervallen worden logaritmisch gemeten als halve tonen. Het interval tussen twee noten in halve tonen is de basis-2^1/12 logaritme van de frequentieverhouding (oftewel 12 maal de basis-2 logaritme). Fractionele halve tonen worden gebruikt voor niet-gelijke stemmingen. Speciaal om afwijkingen van de gelijkzwevende toonladder te meten, worden intervallen ook uitgedrukt in cents (honderdsten van een gelijkzwevende halve toon). Het interval tussen twee noten in cents is de basis-2^1/1200 logaritme van de frequentieverhouding (of 1200 maal de basis-2 logaritme). In MIDI zijn de noten genummerd op de halve toonschaal (logaritmische absolute nominale toonhoogte met midden C op 60). Voor microstemming op andere stemmingssystemen wordt een logaritmische toonladder gedefinieerd die de bereiken tussen de halve tonen van de gelijkzwevende toonladder op een compatibele manier invult. Deze schaal komt overeen met de nootnummers voor hele halve tonen. (zie microstemming in MIDI Archived 2008-02-12 at the Wayback Machine).

Logaritmen tot het grondtal 10 worden gewone logaritmen genoemd. Ze worden meestal geschreven zonder het grondtal. Bijvoorbeeld:

log ( 100 ) = 2 {\log(100)=2}.

Dit is waar omdat:

10 2 = 100 {Displaystyle 10^{2}=100}
 

Logaritmen tot basis e worden natuurlijke logaritmen genoemd. Het getal e is bijna 2,71828, en wordt ook wel de Euler-constante genoemd naar de wiskundige Leonhard Euler.

De natuurlijke logaritmen kunnen de symbolen log e ( x ) {log _{e}(x),} of ln ( x ) {ln(x),} aannemen. Sommige auteurs geven de voorkeur aan het gebruik van natuurlijke logaritmen als log ( x ) {Displaystyle \log(x)} , maar vermelden dit meestal in het voorwoord.

Logaritmen hebben vele eigenschappen. Bijvoorbeeld:

Eigenschappen van de definitie van een logaritme

Deze eigenschap komt rechtstreeks uit de definitie van een logaritme:

log n ( n a ) = a {log _{n}(n^{a})=a} Bijvoorbeeld

log 2 ( 2 3 ) = 3 {log _{2}(2^{3})=3}. en

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {log _{2}{bigg (}{frac {1}{2}}{bigg )}=-1} , omdat 1 2 = 2 - 1 {frac {1}{2}=2^{-1}}. .

De logaritme naar basis b van een getal a, is hetzelfde als de logaritme van a gedeeld door de logaritme van b. Dat is,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={frac {log(a)}{log(b)}}}

Laat bijvoorbeeld a 6 en b 2 zijn. Met rekenmachines kunnen we aantonen dat dit waar is (of in ieder geval heel dichtbij):

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={frac {log(6)}{log(2)}}.

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {{2}(6)approx 2.584962}

2,584962 ≈ 0,778151 0,301029 ≈ 2,584970 ≈ 2,584962 ≈ 2,584970}.

De resultaten hierboven hadden een kleine fout, maar dat kwam door het afronden van getallen.

Aangezien het moeilijk is om de natuurlijke logaritme voor te stellen, vinden we dat, in termen van een basis-ten logaritme:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0,434294 {\displaystyle \ln(x)={frac {log(x)}{log(e)}}}approx {frac {log(x)}{0,434294}}}}. waarbij 0,434294 een benadering is voor de logaritme van e.

Bewerkingen binnen logaritme-argumenten

Logaritmen die binnen hun argument vermenigvuldigen kunnen als volgt worden veranderd:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}.

Bijvoorbeeld,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\dot 10)=\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}.

Evenzo kan een logaritme die binnen het argument deelt, worden veranderd in een verschil van logaritme (omdat het de inverse bewerking van vermenigvuldiging is):

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {{{frac {a}{b}}}=log(a)-log(b)}}.

Logaritmetafels, rekenlinialen en historische toepassingen

Vóór elektronische computers werden logaritmen dagelijks gebruikt door wetenschappers. Logaritmen hielpen wetenschappers en ingenieurs op vele gebieden, zoals de astronomie.

Vóór computers was de logaritmetafel een belangrijk hulpmiddel. In 1617 drukte Henry Briggs de eerste logaritmetafel. Dit was kort na de basisuitvinding van Napier. Later maakte men tabellen met een betere reikwijdte en precisie. Deze tabellen vermeldden de waarden van log_b (x) en b^x voor elk getal x in een bepaald bereik, bij een bepaalde nauwkeurigheid, voor een bepaalde basis b (meestal b = 10). De eerste tabel van Briggs bevatte bijvoorbeeld de gemeenschappelijke logaritmen van alle gehele getallen in het bereik 1-1000, met een precisie van 8 cijfers.

Aangezien de functie f(x) = b^x de inverse functie is van log_b (x), wordt zij de antilogaritme genoemd. Men gebruikte deze tabellen om getallen te vermenigvuldigen en te delen. Een gebruiker zocht bijvoorbeeld voor elk van twee positieve getallen de logaritme op in de tabel. Door de getallen uit de tabel op te tellen kreeg men de logaritme van het product. De antilogaritmefunctie van de tabel zou dan het product vinden op basis van zijn logaritme.

Voor handmatige berekeningen die precisie vereisen, is het opzoeken van de twee logaritmen, het berekenen van hun som of verschil, en het opzoeken van de antilogaritme veel sneller dan het uitvoeren van de vermenigvuldiging op eerdere manieren.

Veel logaritmetafels geven logaritmen door afzonderlijk de karakteristiek en de mantisse van x te geven, dat wil zeggen het gehele deel en het fractionele deel van log₁₀ (x). De karakteristiek van 10 - x is één plus de karakteristiek van x, en hun betekenissen zijn hetzelfde. Hierdoor wordt het toepassingsgebied van logaritmetabellen uitgebreid: gegeven een tabel met log₁₀ (x) voor alle gehele getallen x van 1 tot 1000, wordt de logaritme van 3542 benaderd door

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10 ≈ 354.2)=1+log _{10}(354.2)\benadert 1+log _{10}(354).¿,}

Een andere cruciale toepassing was de rekenliniaal, een paar logaritmisch verdeelde schalen die werden gebruikt voor berekeningen, zoals hier geïllustreerd:

Getallen worden gemarkeerd op glijdende schalen op afstanden die evenredig zijn met de verschillen tussen hun logaritmen. Het verschuiven van de bovenste schaal komt neer op het mechanisch optellen van logaritmen. Als men bijvoorbeeld de afstand van 1 tot 2 op de onderste schaal optelt bij de afstand van 1 tot 3 op de bovenste schaal, krijgt men een product van 6, dat aan de onderkant wordt afgelezen. Veel ingenieurs en wetenschappers gebruikten tot de jaren 1970 rekenlinialen. Wetenschappers kunnen met een rekenliniaal sneller werken dan met een logaritmetafel.

• Euler-Mascheroni constante
• Stelling van het priemgetal