Logaritme

Logaritmen of logboeken zijn een onderdeel van de wiskunde. Ze zijn gerelateerd aan exponentiële functies. Een logaritme vertelt welke exponent (of vermogen) nodig is om een bepaald getal te maken, dus logaritmen zijn het omgekeerde (tegenovergestelde) van exponentiatie. Historisch gezien waren ze nuttig bij het vermenigvuldigen of delen van grote getallen.

Een voorbeeld van een logaritme is log 2 ( 8 ) = 3 {\\\\log _{2}(8)=3} {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }. In dit logaritme is de basis 2, het argument 8 en het antwoord 3.

De meest voorkomende soorten logaritmen zijn gewone logaritmen, waarbij de basis 10 is, en natuurlijke logaritmen, waarbij de basis e≈ 2.71828 is.

Een geopende nautilusschelp. Zijn kamers maken een logaritmische spiraal...
Een geopende nautilusschelp. Zijn kamers maken een logaritmische spiraal...

Geschiedenis

Logaritmen werden voor het eerst gebruikt in India in de 2de eeuw voor Christus. De eerste die logaritmen gebruikte in de moderne tijd was de Duitse wiskundige Michael Stifel (rond 1487-1567). In 1544 schreef hij de volgende vergelijkingen op: q m q n = q m + n {\\\playstyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}}{\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} en q m q n = q m - n {\tfrac {q^{m}}{q{n}}=q^{m-n}}. {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}Dit is de basis voor het begrijpen van logaritmen. Voor Stifel moesten m {\\\playstyle m} men n {\playstyle n}n hele getallen zijn. John Napier (1550-1617) wilde deze beperking niet, en wilde een bereik voor de exponenten.

Volgens Napier ahebben de logaritmen dezelfde verhouding tot b{\displaystyle b}, als c {\displaystyle c}en d, {\displaystyle d}als het verschil van hun logaritmen overeenkomt. Wiskundig: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\\\\log(a)-log(b)=log(c)-log(d)} {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)}. In het begin werd basis e gebruikt (ook al was het nummer nog niet benoemd). Henry Briggs stelde voor om 10 te gebruiken als basis voor logaritmen, zulke logaritmen zijn erg nuttig in de astronomie.

John Napier werkte aan logaritmen
John Napier werkte aan logaritmen

Relatie met exponentiële functies

Een logaritme vertelt welke exponent (of vermogen) nodig is om een bepaald getal te maken, dus logaritmen zijn het omgekeerde (tegenovergestelde) van exponentiatie.

Net zoals een exponentiële functie drie delen heeft, heeft een logaritme drie delen. De drie delen van een logaritme zijn een basis, een argument en een antwoord (ook wel macht genoemd).

Dit is een exponentiële functie:

2 3 = 8 {\\an8} {\displaystyle 2^{3}=8\ }

In deze functie is de basis 2, het argument 3 en het antwoord 8.

Deze exponentiële functie heeft een omgekeerde, zijn logaritme:

log 2 ( 8 ) = 3 {\\\\log _ _2}(8)=3} {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

In dit logaritme is de basis 2, het argument 8 en het antwoord 3.

Verschil met wortels

Toevoeging heeft één omgekeerde bewerking: de aftrekking. Ook heeft de vermenigvuldiging één inverse bewerking: de deling. Daarom kan het moeilijk te begrijpen zijn waarom exponentiatie eigenlijk twee inverse bewerkingen heeft: Waarom hebben we het logaritme nodig als er al een wortel is? Dit is het geval omdat de exponentiatie niet commutatief is.

Het volgende voorbeeld illustreert dit:

  • Als je x+2=3 hebt, dan kun je aftrekken om erachter te komen dat x=3-2. Dit is hetzelfde als wanneer je 2+x=3 hebt: je krijgt ook x=3-2. Dit komt omdat x+2 hetzelfde is als 2+x.
  • Als je x - 2=3 hebt, dan kun je de verdeling gebruiken om erachter te komen dat x= 3 2 {\frac {3}{2}} {\textstyle {\frac {3}{2}}}. Dit is hetzelfde als je 2 - x=3: Je krijgt ook x= 3 2 {\frac {3}{2}}} {\textstyle {\frac {3}{2}}}. Dit komt omdat x - 2 hetzelfde is als 2 - x.
  • Als je x²=3 hebt, dan gebruik je de (vierkants)wortel om x uit te zoeken: Je krijgt het resultaat x = 3 {\\\\rt {3}} {\textstyle {\sqrt {3}}}. Als je echter 2x=3 hebt, dan kun je de wortel niet gebruiken om x uit te zoeken: Je krijgt het resultaat x=log2(3).
    Dit komt omdat 2x meestal niet hetzelfde is als x2 (bijvoorbeeld 25=32 maar 5²=25).

Gebruikt

Logaritmen kunnen de vermenigvuldiging en deling van grote getallen vergemakkelijken omdat het optellen van logaritmen hetzelfde is als vermenigvuldigen, en het aftrekken van logaritmen hetzelfde is als delen.

Voordat rekenmachines populair en gemeengoed werden, gebruikten mensen logaritmische tabellen in boeken om te vermenigvuldigen en te delen. Dezelfde informatie in een logaritmentabel was beschikbaar op een rekenliniaal, een hulpmiddel met logaritmen erop geschreven.

  • Logaritmische spiralen zijn gebruikelijk in de natuur. Voorbeelden hiervan zijn de schelp van een nautilus of de rangschikking van de zaden op een zonnebloem.
  • In de chemie is het negatief van de base-10 logaritme van de activiteit van hydronium-ionen (H3O+, de vorm die H+ aanneemt in water) de maat die bekend staat als pH. De activiteit van hydroniumionen in neutraal water is 10-7 mol/L bij 25 °C, dus een pH van 7. (Dit is het resultaat van de evenwichtsconstante, het product van de concentratie van hydroniumionen en hydroxylionen, in wateroplossingen is 10-14 M2).
  • De schaal van Richter meet de intensiteit van de aardbeving op een base-10 logaritmische schaal.
  • In de sterrenkunde meet de schijnbare grootte de helderheid van sterren logaritmisch, omdat het oog ook logaritmisch reageert op de helderheid.
  • Muzikale intervallen worden logaritmisch gemeten als halve tonen. Het interval tussen twee tonen in halve tonen is de base-21/12 logaritme van de frequentieverhouding (of gelijkwaardig, 12 keer de base-2 logaritme). Fractionele halve tonen worden gebruikt voor niet-equivalente temperamenten. Vooral om afwijkingen van de gelijke temperamenten te meten worden de intervallen ook uitgedrukt in centen (honderdsten van een gelijke temperamententoon). Het interval tussen twee tonen in centen is de base-21/1200 logaritme van de frequentieverhouding (of 1200 maal de base-2 logaritme). In MIDI worden de tonen genummerd op de halve toonladder (logaritmische absolute nominale toonhoogte met midden C op 60). Voor microtuning naar andere stemsystemen wordt een logaritmische toonladder gedefinieerd die de bereiken tussen de halve tonen van de gelijke getempereerde toonladder op een compatibele manier invult. Deze schaal komt overeen met de nootnummers voor hele halve tonen. (zie microtuning in MIDI).

Gewone logaritmen

Logaritmen naar basis 10 worden gewone logaritmen genoemd. Ze worden meestal geschreven zonder de basis. Bijvoorbeeld:

logboek ( 100 ) = 2...logboek(100)=2... {\displaystyle \log(100)=2\ }

Dit betekent:

10 2 = 100 10 ^2=100 ^2=100 ^10 2 = 100 ^10 ^2 = 100 ^10 {\displaystyle 10^{2}=100\ }

Natuurlijke logaritmen

Logaritmen aan basis e worden natuurlijke logaritmen genoemd. Het getal e is bijna 2.71828, en wordt ook wel de Euleriaanse constante genoemd naar de wiskundige Leonhard Euler.

De natuurlijke logaritmen kunnen de symbolen log e ( x ) {\\an5} {\displaystyle \log _{e}(x)\,}of ln ( x ) {\\an5} {\displaystyle \ln(x)\,}

Sommige auteurs geven de voorkeur aan het gebruik van natuurlijke logaritmen als log ( x ) {\\\\log(x)} {\displaystyle \log(x)}maar vermelden dit meestal op voorwoord pagina's.

Gemeenschappelijke bases voor logaritmen

basis

afkorting

Opmerkingen

2

ld...speelstijl...naam van de operator... } {\displaystyle \operatorname {ld} }

Zeer gebruikelijk in de computerwetenschappen (binair)

e

ln de displaystyle {\displaystyle \ln }of gewoon in het logboek... {\displaystyle \log }

De basis hiervan is de Euleriaanse constante e. Dit is de meest gebruikte logaritme in de zuivere wiskunde.

10

logboek 10, {\displaystyle \log _{10}}of logboek 10, of logboek 10... {\displaystyle \log }(soms ook geschreven als Ig{\displaystyle \lg })...

Gebruikt in sommige wetenschappen zoals chemie en biologie.

elk nummer, n

logboek n {\\\\log} {\displaystyle \log _{n}}

Dit is de algemene manier om logaritmen te schrijven



Eigenschappen van logaritmen

Logaritmen hebben veel eigenschappen. Bijvoorbeeld:

Eigenschappen uit de definitie van een logaritme

Deze eigenschap komt rechtstreeks uit de definitie van een logaritme:

log n ( n a ) = een {\\\\log _{n}(n^a})=a} {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a}Bijvoorbeeld

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\playstyle \log _{2}(2^{3})=3} {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3}en

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\\frac {2}{bigg (1}{2}}=-1} {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1}omdat 1 2 = 2 - 1 {\frac {2}}=2^1} {\displaystyle {\frac {1}{2}}=2^{-1}}.


De logaritme naar basis b van een getal a is hetzelfde als de logaritme van a gedeeld door de logaritme van b. Dat wil zeggen,

logboek b ( a ) = logboek ( a ) logboek ( b ) logboek __b}(a)={frac(a)}{log(b)} {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}

Laat a bijvoorbeeld 6 en b 2 zijn. Met rekenmachines kunnen we laten zien dat dit waar is of in ieder geval heel dichtbij is:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\\\\\\\an8}(6)={\frac(6)} {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\\\\log _{2}(6)} {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962}

2.584962 ≈ 0,778151 0,301029 ≈ 2,584970 {\\frac {0,778151} ≈ 2,584970} {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970}

Onze resultaten hadden een kleine fout, maar dit was te wijten aan de afronding van de getallen.

Aangezien het moeilijk is om het natuurlijke logaritme in beeld te brengen, vinden we dat, in termen van een base-ten-logaritme:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0,434294 {\\\\ln(x)={\frac(x)}{log(e)}{0,434294}} {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}}Waarbij 0,434294 een benadering is voor het logaritme van e.

 

Bewerkingen binnen logaritme-argumenten

Logaritmen die zich binnen hun argument vermenigvuldigen kunnen als volgt worden gewijzigd:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\\\log(ab)=log(a)+log(b)} {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Bijvoorbeeld,

log ( 1000 ) = log ( 10 10 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\\cdot 10 \cdot 10)=log(10)+log(10)+log(10)=1+1+1=3} {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

Hetzelfde werkt voor het delen, maar dan met aftrekken in plaats van optellen, omdat het de omgekeerde werking van de vermenigvuldiging is:

logboek ( a b ) = logboek ( a ) - logboek ( b ) {\bigg (frac {a}{bigg}}=log(a)-log(b)} {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Logaritmische tabellen, schuifregels en historische toepassingen

Vóór de elektronische computers werden logaritmen dagelijks gebruikt door wetenschappers. Logaritmen hielpen wetenschappers en ingenieurs op vele gebieden zoals de astronomie.

Vóór de computers was de logaritmentabel een belangrijk hulpmiddel. In 1617 drukte Henry Briggs de eerste logaritmentabel af. Dit was al snel na de basisuitvinding van Napier. Later maakte men tafels met een betere reikwijdte en precisie. Deze tabellen gaven de waarden van logb(x) en bx aan voor elk getal x in een bepaald bereik, met een bepaalde precisie, voor een bepaalde basis b (meestal b = 10). Zo bevatte de eerste tabel van Briggs de gemeenschappelijke logaritmen van alle gehele getallen in het bereik 1-1000, met een precisie van 8 cijfers. Aangezien de functie f(x) = bx de inverse functie van logb(x) is, wordt dit de antilogaritme genoemd. Men heeft deze tabellen gebruikt om getallen te vermenigvuldigen en te delen. Een gebruiker zocht bijvoorbeeld de logaritme in de tabel op voor elk van de twee positieve getallen. Het toevoegen van de getallen uit de tabel zou de logaritme van het product opleveren. De antilogaritme functie van de tabel zou dan het product vinden op basis van de logaritme.

Voor handmatige berekeningen die precisie vereisen, is het uitvoeren van de opzoekingen van de twee logaritmen, het berekenen van hun som of verschil, en het opzoeken van de antilogaritme veel sneller dan het uitvoeren van de vermenigvuldiging op eerdere manieren.

Veel logaritmentabellen geven logaritmen door het kenmerk en de mantisse van x, dat wil zeggen het gehele deel en het gefractioneerde deel van log10(x), apart te geven. De eigenschap van 10 - x is één plus de eigenschap van x, en hun betekenissen zijn hetzelfde. Dit breidt de reikwijdte van logaritmische tabellen uit: gegeven een tabel met log10(x) voor alle gehele getallen x, variërend van 1 tot 1000, wordt de logaritme van 3542 benaderd met

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\\cdot 354.2} = 1+log _10}(354.2){\cdot 1+log _10}(354.2}. {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).\,}

Een andere kritische toepassing was de schuifregel, een paar logaritmisch verdeelde schalen die gebruikt worden voor de berekening, zoals hier geïllustreerd:

Getallen worden op glijdende schalen gemarkeerd op afstanden die evenredig zijn met de verschillen tussen hun logaritmen. Het verschuiven van de bovenste schaal komt neer op het mechanisch toevoegen van logaritmen. Bijvoorbeeld, het toevoegen van de afstand van 1 tot 2 op de onderste schaal aan de afstand van 1 tot 3 op de bovenste schaal levert een product van 6 op, dat aan het onderste deel wordt afgelezen. Veel ingenieurs en wetenschappers gebruikten tot in de jaren zeventig van de vorige eeuw rekenlinialen. Wetenschappers kunnen sneller werken met een rekenliniaal dan met een logaritmentabel.

Schematische weergave van een rekenliniaal. Begin bij 2 op de onderste schaal, tel de afstand op tot 3 op de bovenste schaal om het product te bereiken 6. De rekenliniaal werkt omdat deze zo is gemarkeerd dat de afstand van 1 tot x evenredig is met de logaritme van x.
Schematische weergave van een rekenliniaal. Begin bij 2 op de onderste schaal, tel de afstand op tot 3 op de bovenste schaal om het product te bereiken 6. De rekenliniaal werkt omdat deze zo is gemarkeerd dat de afstand van 1 tot x evenredig is met de logaritme van x.

De dichtstbijzijnde nevels en sterrenclusters (klikbare kaart)
De dichtstbijzijnde nevels en sterrenclusters (klikbare kaart)


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3