Functiecompositie | een manier om een nieuwe functie te maken van twee andere functies

In de wiskunde is functiecompositie een manier om van twee andere functies een nieuwe functie te maken via een ketenachtig proces.

Meer bepaald, gegeven een functie f van X naar Y en een functie g van Y naar Z, dan is de functie "g samengesteld met f", geschreven als g ∘ f, een functie van X naar Z (merk op hoe het meestal andersom wordt geschreven dan men zou verwachten).

De waarde van f gegeven de invoer x wordt geschreven als f(x). De waarde van g ∘ f gegeven de invoer x wordt geschreven als (g ∘ f)(x), en wordt gedefinieerd als g(f(x)).

Laat f bijvoorbeeld een functie zijn die een getal verdubbelt (vermenigvuldigt met 2), en laat g een functie zijn die 1 van een getal aftrekt. Deze twee functies kunnen worden geschreven als:

f ( x ) = 2 x {f(x)=2x} $f(x)=2x$

g ( x ) = x - 1 {{{empty} g(x)=x-1} $g(x)=x-1$

Hier zou g, samengesteld met f, de functie zijn die een getal verdubbelt en er vervolgens 1 van aftrekt. Dat wil zeggen:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {displaystyle (g ∘ f)(x)=2x-1} $(g\circ f)(x)=2x-1$

Anderzijds zou f samengesteld met g de functie zijn die 1 aftrekt van een getal, en het vervolgens verdubbelt:

( f ∘ g ) ( x ) = 2 ( x - 1 ) {displaystyle (f ∘ g)(x)=2(x-1)}. $(f\circ g)(x)=2(x-1)$

Samenstelling van functies kan ook worden veralgemeend tot binaire relaties, waarbij soms hetzelfde symbool ∘ {\displaystyle \circ } $\circ$ wordt gebruikt (zoals in R ∘ S {\displaystyle R\circ S} $R\circ S$ ).

Eigenschappen

Van functiesamenstelling kan worden aangetoond dat deze associatief is, wat betekent dat:

f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {{displaystyle f ∘circ (g ∘ h)=(f ∘ g)\circ h}. $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Functiecompositie is echter in het algemeen niet commutatief, wat betekent dat:

f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f ∘ g ≠ f} $f\circ g\neq g\circ f$

Dit is ook te zien in het eerste voorbeeld, waar (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 en (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.

Gerelateerde pagina's

Kettingregel

Vragen en antwoorden

V: Wat is functiecompositie?

A: Functiesamenstelling is een manier om van twee andere functies een nieuwe functie te maken via een ketenachtig proces.

V: Hoe wordt de waarde van g samengesteld met f geschreven?

A: De waarde van g samengesteld met f wordt geschreven als (g ∘ f)(x), en wordt gedefinieerd als g(f(x)).

V: Wat zijn enkele voorbeelden van functies?

A: Een voorbeeld zou kunnen zijn een functie die een getal verdubbelt (met 2 vermenigvuldigt) en een andere die 1 van een getal aftrekt.

V: Wat zou een voorbeeld zijn van g samengesteld met f?

Antwoord: Een voorbeeld van g samengesteld met f zou de functie zijn die een getal verdubbelt en er vervolgens 1 van aftrekt. Dat is (g ∘ f)(x)=2x-1.

Vraag: Wat zou een voorbeeld zijn van f samengesteld met g?

Antwoord: Een voorbeeld van f samengesteld met g zou de functie zijn die van een getal 1 aftrekt en het vervolgens verdubbelt; dat is (f ∘ g)(x)=2(x-1).

V: Kan samenstelling ook worden veralgemeend tot binaire relaties?

A: Ja, samenstelling kan ook worden veralgemeend tot binaire relaties, waarbij soms hetzelfde symbool wordt gebruikt (zoals in R ∘ S).