Samenstelling van functies (functiecompositie): definitie en voorbeelden

Leer functiecompositie: duidelijke definitie, stap-voor-stap uitleg en heldere voorbeelden van samenstelling van functies (g∘f), met eigenschappen en toepassingen.

In de wiskunde is functiecompositie een manier om van twee andere functies een nieuwe functie te maken via een ketenachtig proces.

Meer bepaald: gegeven een functie f van X naar Y en een functie g van Y naar Z, dan is de functie "g samengesteld met f", geschreven als g ∘ f, een functie van X naar Z. Let op dat de schrijfwijze vaak anders overkomt dan men intuïtief zou verwachten: g ∘ f betekent eerst f toepassen en daarna g.

De waarde van f bij de invoer x wordt geschreven als f(x). De waarde van g ∘ f bij invoer x wordt geschreven als (g ∘ f)(x), en is gedefinieerd als g(f(x)). Met andere woorden: je berekent eerst f(x) en neemt daarna g van dat resultaat.

Voorbeeld

Laat f bijvoorbeeld een functie zijn die een getal verdubbelt (vermenigvuldigt met 2), en laat g een functie zijn die 1 van een getal aftrekt. Deze twee functies kunnen worden geschreven als:

f ( x ) = 2 x {f(x)=2x}

g ( x ) = x - 1 {{{empty} g(x)=x-1}

Hier zou g, samengesteld met f, de functie zijn die een getal verdubbelt en er vervolgens 1 van aftrekt. Dat wil zeggen:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {displaystyle (g ∘ f)(x)=2x-1}

Anderzijds zou f samengesteld met g de functie zijn die eerst 1 aftrekt van een getal, en dat resultaat vervolgens verdubbelt:

( f ∘ g ) ( x ) = 2 ( x - 1 ) {displaystyle (f ∘ g)(x)=2(x-1)}

Belangrijke eigenschappen

• Voorwaarde voor samenstelling: g ∘ f is alleen gedefinieerd wanneer de beeldset (of codomein) van f een subset is van het domein van g. Praktisch: de output van f moet geldig zijn als input voor g.
• Niet-commutatief: over het algemeen geldt g ∘ f ≠ f ∘ g, zoals het bovenstaande voorbeeld laat zien.
• Associativiteit: samenstelling is wel associatief: als f, g, en h geschikt zijn, dan geldt h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. Hierdoor is het samenstellen van meerdere functies goed gedefinieerd zonder haakjes te hoeven specificeren.
• Identiteitsfunctie: voor elke verzameling X is er een identiteitfunctie id_X met id_X(x) = x. Voor elke functie f: f ∘ id_X = f en id_Y ∘ f = f (met juiste domeinen).
• Inverse functies: als f inverteerbaar is met inverse f⁻¹, dan geldt f⁻¹ ∘ f = id en f ∘ f⁻¹ = id (op de juiste verzamelingen).

Algemene en aanvullende voorbeelden

Samenstelling wordt veel gebruikt in verschillende deelgebieden van de wiskunde en daarbuiten:

• Algebraïsche functies: samenstellen van polynomen en rationale functies; bijvoorbeeld (x ↦ x^2) ∘ (x ↦ x+1) geeft x ↦ (x+1)^2.
• Analyse (kettingregel): in de differentiaalrekening leidt de afgeleide van een samengesteld voorschrift tot de kettingregel: (d/dx)(g ∘ f)(x) = g'(f(x)) · f'(x).
• Programmeren: functiecompositie verschijnt als het samenvoegen van kleine functies tot een pijplijn waarbij data van de ene functie naar de volgende gaat (bijv. map/filter/compose-patronen).
• Samenstelling van binaire relaties: de definitie van samenstelling kan worden veralgemeend naar binaire relaties, waarbij vaak hetzelfde symbool ∘ {\displaystyle \circ } wordt gebruikt (bijvoorbeeld voor relaties R en S wordt R ∘ S gedefinieerd als de relatie die bestaat uit paren (x,z) waarvoor er een y bestaat met (x,y) in S en (y,z) in R). Zie ook de notatie zoals bij R ∘ S {\displaystyle R\circ S}.

Praktische tips

• Controleer altijd domeinen en beeldsets voordat je functies samenstelt — anders is de samenstelling niet goed gedefinieerd.
• Bij veel opeenvolgende samenstellingen is het handig om stap voor stap te evalueren: bereken eerst f(x), dan g(f(x)), enzovoort.
• Voor menselijk begrip is het vaak nuttig de samenstelling in woorden te lezen: g ∘ f is "voer eerst f uit, neem dan g".

Samengevat: samenstelling van functies is een fundamenteel en veelgebruikt begrip dat het mogelijk maakt complexe transformaties op te bouwen uit eenvoudigere onderdelen. Het is assocatief en heeft speciale aspecten zoals de identiteit en inversen, maar is in het algemeen niet commutatief.

Vragen en antwoorden

V: Wat is functiecompositie?

V: Hoe wordt de waarde van g samengesteld met f geschreven?

V: Wat zijn enkele voorbeelden van functies?

V: Wat zou een voorbeeld zijn van g samengesteld met f?

Vraag: Wat zou een voorbeeld zijn van f samengesteld met g?

V: Kan samenstelling ook worden veralgemeend tot binaire relaties?

Zoek op letter