Fundamentele stelling van calculus

Een definitie van afgeleide, bepaalde integraal, en onbepaalde integraal (antiderivatief) is nodig om de fundamentele stelling van calculus te begrijpen. De afgeleide kan worden opgevat als het meten van de verandering van de waarde van een variabele ten opzichte van een andere variabele. De bepaalde integraal is het netto gebied onder de curve van een functie en boven de x-as over een interval [a,b]. De onbepaalde integraal (antiderivatief) van een functie f is een andere functie F waarvan de afgeleide gelijk is aan de eerste functie f.

De geschiedenis van de fundamentele stelling van de calculus begint al in de zeventiende eeuw met Gottfried Wilhelm Leibniz en Isaac Newton. Leibniz beschouwde integratie als de som van oneindig veel oppervlakten die worden opgeteld. Als zodanig verwijst hij naar het belangrijke begrip oppervlakte in verband met de definitie van de integraal. Isaac Newton gebruikte meetkunde om het verband tussen versnelling, snelheid en afstand te beschrijven. Dit is essentieel om het verband tussen de afgeleide en de integraal te begrijpen; versnelling is de afgeleide van snelheid, die de afgeleide is van afstand, en afstand is de antiderivaat van snelheid, die de antiderivaat is van versnelling. In 1823 definieerde Cauchy de bepaalde integraal volgens de limietdefinitie. Eveneens in de negentiende eeuw beschreef Siméon Denis Poisson de bepaalde integraal als het verschil van de antiderivatieven [F(b) - F(a)] op de eindpunten a en b, en beschreef daarmee wat nu de eerste fundamentele stelling van de calculus is. Pas in de jaren 1950 werden al deze concepten samengevoegd om de stelling de fundamentele stelling van de calculus te noemen.

De tweede fundamentele stelling van calculus stelt dat als de functie f continu is, dan is

d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) {frac {mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)}

Dit betekent dat de afgeleide van de integraal van een functie f ten opzichte van de variabele t over het interval [a,x] gelijk is aan de functie f ten opzichte van x. Dit beschrijft de afgeleide en de integraal als inverse processen.

De eerste fundamentele stelling van calculus stelt dat als de functie f(x) continu is, dan is

∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) {{displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}

Dit betekent dat de bepaalde integraal over een interval [a,b] gelijk is aan de antiderivatief geëvalueerd bij b minus de antiderivatief geëvalueerd bij a. Dit geeft het verband tussen de bepaalde integraal en de onbepaalde integraal (antiderivatief).