Afgeleide (wiskunde) | is een manier om de momentane snelheid van verandering weer te geven

Definitie van een afgeleide

De afgeleide van y ten opzichte van x is gedefinieerd als de verandering in y ten opzichte van de verandering in x, naarmate de afstand tussen x 0 {{0}} en x 1 {{1}} oneindig klein wordt (infinitesimaal). In wiskundige termen,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}.

Dat wil zeggen, naarmate de afstand tussen de twee x-punten (h) dichter bij nul komt, komt de helling van de lijn tussen hen dichter bij een raaklijn.

 
Een animatie die een intuïtief idee geeft van de afgeleide, aangezien de "zwaai" van een functie verandert wanneer het argument verandert.  

Afgeleiden van functies

Lineaire functies

Afgeleiden van lineaire functies (functies van de vorm m x + c {mx+c} zonder kwadratische of hogere termen) zijn constant. Dat wil zeggen dat de afgeleide op één plek op de grafiek hetzelfde blijft op een andere plek.

Wanneer de afhankelijke variabele y {displaystyle y} direct de waarde van x {displaystyle x} aanneemt ( y = x {displaystyle y=x} ), is de helling van de lijn op alle plaatsen 1, dus d d x ( x ) = 1 {displaystyle {tfrac {d}{dx}}(x)=1} ongeacht waar de positie is.

Wanneer y {{displaystyle y} het getal x {{displaystyle x} wijzigt door een constante waarde toe te voegen of af te trekken, is de helling nog steeds 1, omdat de verandering in x {{displaystyle x} en y {{displaystyle y} niet verandert als de grafiek omhoog of omlaag wordt verschoven. Dat wil zeggen, de helling is nog steeds 1 in de hele grafiek en de afgeleide is ook 1.

Machtsfuncties

Machtsfuncties (in de vorm van x a {playstyle x^{a}} ) gedragen zich anders dan lineaire functies, omdat hun exponent en helling variëren.

Machtsfuncties volgen in het algemeen de regel dat d d x x a = a x a - 1 {displaystyle {tfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}. . Dat wil zeggen, als we a het getal 6 geven, dan is d d x x 6 = 6 x 5 {displaystyle {tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}.

Een ander voorbeeld, dat minder voor de hand ligt, is de functie f ( x ) = 1 x {frac {1}{x}}} . Dit is in wezen hetzelfde, omdat 1/x kan worden vereenvoudigd om exponenten te gebruiken:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {frac {1}{x}}=x^{-1}}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {displaystyle f'(x)=-{frac {1}{x^{2}}}}

Bovendien kunnen wortels worden gewijzigd om fractionele exponenten te gebruiken, waarbij hun afgeleide kan worden gevonden:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {displaystyle f(x)={{sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{frac {2}{3}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={{frac {2}{3}}(x^{-{frac {1}{3}}}})}

Exponentiële functies

Een exponentiële functie heeft de vorm a b f ( x ) {{displaystyle ab^{fleft(xright)}}. waarbij a en b constanten zijn en f ( x ) een functie is van x . Het verschil tussen een exponentieel en een veelterm is dat bij een veelterm x tot een macht verheven is, terwijl bij een exponentieel x in de macht ligt.

Voorbeeld 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {{displaystyle {frac {d}{dx}}} ′left(ab^{f}left(xright)}) =ab^{f(x)} }cdot f'′left(xright)′ln(b)}.

Voorbeeld 2

Vind d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {{displaystyle {frac {d}{dx}}} links(3{cdot 2^{3{x^{2}}} rechts)} .

a = 3 {displaystyle a=3}

b = 2 {displaystyle b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {{3x^{2}}.

f ′ ( x ) = 6 x {displaystyle f'′left(xright)=6x}.

Daarom,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {displaystyle {frac {d}{dx}}{dxleft(3{3x^{2}}} rechts)=3{3x^{2}}} \ln \left(2} rechts)=\ln \left(2} rechts)\ln 18x{3x^{2}}}}

Logaritmische functies

De afgeleide van logaritmen is de reciproke:

d d x ln ( x ) = 1 x {displaystyle {d}{dx}}ln(x)={frac {1}{x}}} .

Neem bijvoorbeeld d d x ln ( 5 x ) {displaystyle {frac {d}{dx}}}ln \left({frac {5}{x}}}right)} . Dit kan worden herleid tot (door de eigenschappen van logaritmen):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) {frac {d}{dx}}(\ln(5))-{frac {d}{dx}}(\ln(x))}.

De logaritme van 5 is een constante, dus de afgeleide is 0. De afgeleide van ln ( x ) is 1 x . Dus,

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {displaystyle 0-{frac {d}{dx}}ln(x)=-{frac {1}{x}}}

Voor afgeleiden van logaritmen niet in basis e, zoals d d x ( log 10 ( x ) ) {displaystyle {tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} kan dit worden gereduceerd tot:

d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {{displaystyle {d}{dx}}log _{10}(x)={frac {d}{dx}}{frac {ln {x}}{ln {10}}}={frac {1}{ln {10}}}{frac {d}{dx}}{ln {x}={frac {1}{x{ln(10)}}.

Trigonometrische functies

De cosinusfunctie is de afgeleide van de sinusfunctie, terwijl de afgeleide van cosinus de negatieve sinus is (op voorwaarde dat x wordt gemeten in radialen):

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {displaystyle {frac {d}{dx}}sin(x)=cos(x)}

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {displaystyle {frac {d}{dx}}cos(x)=- sin(x)}

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {displaystyle {frac {d}{dx}}sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .
 

Eigenschappen van derivaten

Afgeleiden kunnen worden opgedeeld in kleinere delen waar ze hanteerbaar zijn (omdat ze slechts één van de bovenstaande functiekenmerken hebben). Bijvoorbeeld, d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {displaystyle {tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} kan worden opgedeeld als:

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d x ( 6 ) {\displaystyle {{d}{dx}}}(3x^{6})+{{frac {d}{dx}}(x^{2})-{{frac {d}{dx}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6 ⋅ 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {Displaystyle =18x^{5}+2x}.
 

Gebruik van derivaten

De afgeleide van een functie kan worden gebruikt om de maxima en minima van de functie te zoeken, door te zoeken naar plaatsen waar de helling nul is.

Afgeleiden worden gebruikt in de methode van Newton, waarmee men de nulpunten (wortels) van een functie kan vinden. Men kan ook afgeleiden gebruiken om de concaviteit van een functie te bepalen, en of de functie stijgend of dalend is.

 

Gerelateerde pagina's

• Verschilquotiënt
• Fundamentele stelling van calculus
• Impliciete afgeleide
• Integraal
• Gedeeltelijke afgeleide
• Tweede afgeleide