Afgeleide (wiskunde) | is een manier om de momentane snelheid van verandering weer te geven

Schrijver: Leandro Alegsa Aanmaakdatum: 17 september 2022

In de wiskunde (met name in differentiaalrekening) is de afgeleide een manier om de momentane veranderingssnelheid aan te geven: dat wil zeggen de mate waarin een functie op een bepaald punt verandert. Voor functies die werken op de reële getallen is het de helling van de raaklijn in een punt op een grafiek. De afgeleide wordt vaak geschreven als d y d x {displaystyle {tfrac {dy}{dx}}} ${\tfrac {dy}{dx}}$ ("dy over dx" of "dy over dx", d.w.z. het verschil in y gedeeld door het verschil in x). De d is geen variabele, en kan dus niet worden opgeheven. f'(x) Een andere gebruikelijke notatie is f ′ ( x ) {de afgeleide van de functie f {{displaystyle f} in het punt x{displaystyle x} , meestal gelezen als " f {displaystyle f} priem van x {displaystyle x} ".

Een functie (zwart) en een raaklijn (rood). De afgeleide in het punt is de helling van de raaklijn.

Definitie van een afgeleide

De afgeleide van y ten opzichte van x is gedefinieerd als de verandering in y ten opzichte van de verandering in x, naarmate de afstand tussen x 0 {{0}} $x_{0}$ en x 1 {{1}} $x_{1}$ oneindig klein wordt (infinitesimaal). In wiskundige termen,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}. $f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

Dat wil zeggen, naarmate de afstand tussen de twee x-punten (h) dichter bij nul komt, komt de helling van de lijn tussen hen dichter bij een raaklijn.

Een animatie die een intuïtief idee geeft van de afgeleide, aangezien de "zwaai" van een functie verandert wanneer het argument verandert.

Afgeleiden van functies

Lineaire functies

Afgeleiden van lineaire functies (functies van de vorm m x + c {mx+c} $mx+c$ zonder kwadratische of hogere termen) zijn constant. Dat wil zeggen dat de afgeleide op één plek op de grafiek hetzelfde blijft op een andere plek.

Wanneer de afhankelijke variabele y {displaystyle y} direct de waarde van x {displaystyle x} aanneemt ( y = x {displaystyle y=x} $y=x$ ), is de helling van de lijn op alle plaatsen 1, dus d d x ( x ) = 1 {displaystyle {tfrac {d}{dx}}(x)=1} ${\tfrac {d}{dx}}(x)=1$ ongeacht waar de positie is.

Wanneer y {{displaystyle y} het getal x {{displaystyle x} wijzigt door een constante waarde toe te voegen of af te trekken, is de helling nog steeds 1, omdat de verandering in x {{displaystyle x} en y {{displaystyle y} niet verandert als de grafiek omhoog of omlaag wordt verschoven. Dat wil zeggen, de helling is nog steeds 1 in de hele grafiek en de afgeleide is ook 1.

Machtsfuncties

Machtsfuncties (in de vorm van x a {playstyle x^{a}} $x^{a}$ ) gedragen zich anders dan lineaire functies, omdat hun exponent en helling variëren.

Machtsfuncties volgen in het algemeen de regel dat d d x x a = a x a - 1 {displaystyle {tfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}. ${\tfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}$ . Dat wil zeggen, als we a het getal 6 geven, dan is d d x x 6 = 6 x 5 {displaystyle {tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}. ${\tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}$

Een ander voorbeeld, dat minder voor de hand ligt, is de functie f ( x ) = 1 x {frac {1}{x}}} $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ . Dit is in wezen hetzelfde, omdat 1/x kan worden vereenvoudigd om exponenten te gebruiken:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {frac {1}{x}}=x^{-1}}} $f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}$

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})} $f'(x)=-1(x^{-2})$

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {displaystyle f'(x)=-{frac {1}{x^{2}}}} $f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$

Bovendien kunnen wortels worden gewijzigd om fractionele exponenten te gebruiken, waarbij hun afgeleide kan worden gevonden:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {displaystyle f(x)={{sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{frac {2}{3}}} $f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\frac {2}{3}}$

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={{frac {2}{3}}(x^{-{frac {1}{3}}}})} $f'(x)={\frac {2}{3}}(x^{-{\frac {1}{3}}})$

Exponentiële functies

Een exponentiële functie heeft de vorm a b f ( x ) {{displaystyle ab^{fleft(xright)}}. $ab^{f\left(x\right)}$ waarbij a en b $b$ constanten zijn en f ( x ) f(x) een functie is van x . Het verschil tussen een exponentieel en een veelterm is dat bij een veelterm x tot een macht verheven is, terwijl bij een exponentieel x $x$ in de macht ligt.

Voorbeeld 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ${\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)$

Voorbeeld 2

Vind d d x ( 3 ⋅ ${\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3{x^{2}}}\right)$ .

a = 3 {displaystyle a=3} $a=3$

b = 2 {displaystyle b=2} $b=2$

f ( x ) = 3 x 2 {{3x^{2}}. $f\left(x\right)=3x^{2}$

f ′ ( x ) = 6 x {displaystyle f'′left(xright)=6x}. $f'\left(x\right)=6x$

Daarom,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ ${\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}$

Logaritmische functies

De afgeleide van logaritmen is de reciproke:

d d x ln ( x ) = 1 x {displaystyle {d}{dx}}ln(x)={frac {1}{x}}} ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$ .

Neem bijvoorbeeld d d x ln ( 5 x ) {displaystyle {frac {d}{dx}}}ln \left({frac {5}{x}}}right)} ${\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)$ . Dit kan worden herleid tot (door de eigenschappen van logaritmen):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) {frac {d}{dx}}(\ln(5))-{frac {d}{dx}}(\ln(x))}. ${\frac {d}{dx}}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}}(\ln(x))$

De logaritme van 5 is een constante, dus de afgeleide is 0. De afgeleide van ln ( x ) $\ln(x)$ is 1 x ${\tfrac {1}{x}}$ . Dus,

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {displaystyle 0-{frac {d}{dx}}ln(x)=-{frac {1}{x}}} $0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}$

Voor afgeleiden van logaritmen niet in basis e, zoals d d x ( log 10 ( x ) ) {displaystyle {tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} ${\tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))$ kan dit worden gereduceerd tot:

d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {{displaystyle {d}{dx}}log _{10}(x)={frac {d}{dx}}{frac {ln {x}}{ln {10}}}={frac {1}{ln {10}}}{frac {d}{dx}}{ln {x}={frac {1}{x{ln(10)}}. ${\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}$

Trigonometrische functies

De cosinusfunctie is de afgeleide van de sinusfunctie, terwijl de afgeleide van cosinus de negatieve sinus is (op voorwaarde dat x wordt gemeten in radialen):

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {displaystyle {frac {d}{dx}}sin(x)=cos(x)} ${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {displaystyle {frac {d}{dx}}cos(x)=- sin(x)} ${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {displaystyle {frac {d}{dx}}sec(x)=\sec(x)\tan(x)} ${\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$ .

Eigenschappen van derivaten

Afgeleiden kunnen worden opgedeeld in kleinere delen waar ze hanteerbaar zijn (omdat ze slechts één van de bovenstaande functiekenmerken hebben). Bijvoorbeeld, d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {displaystyle {tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} ${\tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)$ kan worden opgedeeld als:

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d x ( 6 ) {\displaystyle {{d}{dx}}}(3x^{6})+{{frac {d}{dx}}(x^{2})-{{frac {d}{dx}}(6)} ${\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)$

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6 ⋅ 3x^{5}+2x-0} $=6\cdot 3x^{5}+2x-0$

= 18 x 5 + 2 x {Displaystyle =18x^{5}+2x}. $=18x^{5}+2x\,$

Gebruik van derivaten

De afgeleide van een functie kan worden gebruikt om de maxima en minima van de functie te zoeken, door te zoeken naar plaatsen waar de helling nul is.

Afgeleiden worden gebruikt in de methode van Newton, waarmee men de nulpunten (wortels) van een functie kan vinden. Men kan ook afgeleiden gebruiken om de concaviteit van een functie te bepalen, en of de functie stijgend of dalend is.

Gerelateerde pagina's

Vragen en antwoorden

V: Wat is de afgeleide?

A: De afgeleide is een manier om de momentane veranderingssnelheid aan te geven, of de hoeveelheid waarmee een functie op een bepaald punt verandert.

V: Hoe wordt hij meestal geschreven?

A: Het wordt meestal geschreven als "dy over dx" of "dy op dx", wat betekent het verschil in y gedeeld door het verschil in x. Een andere gebruikelijke notatie is f'(x), wat betekent de afgeleide van de functie f op punt x.

V: Is d een variabele?

A: Nee, d is geen variabele en kan niet worden opgeheven.

V: Wat stelt "f" in deze context voor?

A: In deze context stelt "f" een functie voor.

V: Wat stelt "x" in deze context voor?

A: In deze context stelt "x" een punt op een grafiek voor.

V: Wat stelt "y" in deze context voor?

A: In deze context stelt "y" de helling voor van de raaklijn in dat punt van de grafiek.

V: Hoe kunt u "f'(x)" lezen? A: U kunt "f'(x)" lezen als "f priem van x".