Primitieve functie

Antidifferentiatie (ook wel onbepaalde integratie genoemd) is iets wat in de wiskunde wordt gedaan. Het is het tegenovergestelde van differentiatie.

Antiderivaten kunnen u op een algemene manier vertellen over de grootte. Antidifferentiatie wordt gedaan op zaken als vergelijkingen. Antidifferentiatie geeft u iets wat een antiderivaat wordt genoemd. Een antiderivaat is een ander soort vergelijking. Antidifferentiatie is als integratie met maar zonder grenzen. Daarom wordt het onbepaald genoemd.

Er is een antiderivaat geschreven zoals ∫ x d x in de displaystijl x dx. {\displaystyle \int x\ dx}

Eenvoudige integratie

Om een x n {displaystyle ax^{n} te doen integreren} {\displaystyle ax^{n}}

  • Voeg 1 toe aan de kracht n {\\\playstyle n} ndus een x n {displaystyle ax^{n}}{\displaystyle ax^{n}} is nu een x n + 1 {displaystyle ax^{n+1}} {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Verdeel dit alles door de nieuwe macht, dus het is nu een x n + 1 n + 1 {\frac {ax^n+1}}{n+1}} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Voeg daar constant c aan toe{\displaystyle c}, zodat het nu een x n + 1 n + 1 + c is. {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Dit kan worden weergegeven als:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\\playstyle \\ dx={frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Als er veel x-spelende x-termenx zijn, integreer dan elk onderdeel op zichzelf:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\\\frac {6}-5x^{4} dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}+c={\frac {2}{7}}-x^7}+c}-x^7}-x^5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Dit werkt alleen als de onderdelen worden toegevoegd of weggehaald).

Voorbeelden

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\\\\\\\\\\ dx={\frac {3x^{5}}{5}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\\frac {2}+x^{3}+x^{4} {\frac {x^2}}{2}+{frac {3}}+{\frac {x^4}}{4}}+{x^5}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln x + 4 | × 1 + c = ln x + 4 | + c {\frac {1}{x+4}} {\frac {x+4}} dx=ln |x+4|times 1+c=\ln |x+4|+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Het veranderen van fracties en wortels in krachten maakt het makkelijker:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\frac {1}{x^{3}}} dx=== x ^-3} dx={x^{-2}}{-2}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\\sqrt {x^{3}}} dx== x^ {\frac {3}{2}} {\frac {\frac {5}}+c={\frac {2}{5}}x^ {frac {5}}+c={\frac {2}}+c}{\frac {2}{5}}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Integratie van een beugel ("kettingregel")

Als je een beugel wilt integreren zoals ( 2 x + 4 ) 3 {\playstyle (2x+4)^{3}} {\displaystyle (2x+4)^{3}}We moeten het op een andere manier doen. Het heet de kettingregel. Het is als eenvoudige integratie. Het werkt alleen als de x x xin de beugel een kracht heeft van 1 (het is lineair) zoals x x xof 5 x 5x. {\displaystyle 5x}(niet x 5 {\\\playstyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}of x - 7 {\playstyle x^{-7}}{\displaystyle x^{-7}} ).

Om ∫ te doen ( 2 x + 4 ) 3 d x x speelstijl (2x+4)^3 dx) {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Voeg 1 toe aan het vermogen 3 {\\playstyle 3}{\displaystyle 3} , zodat het nu ( 2 x + 4 ) 4 {\playstyle (2x+4)^4} is {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Verdeel dit alles door de nieuwe kracht om ( 2 x + 4 ) 4 4 te krijgen. {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Deel dit alles door de afgeleide van de beugel ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\frac { 2x+4}{dx}=2} {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}om ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\frac {\frac {4}}={4times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^4}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Voeg constant c toe {\displaystyle c}om 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\frac {8}}(2x+4)^4}+c} {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Voorbeelden

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\\an5}. Dx = 6 keer 1. C = 6 keer 1. Links. {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\frac {1}{(7x+12)^{9}}} {-9 {\frac {7x+12} {8}}+c=-{\frac {7x+12} {8}+c=-{\frac {1}{56}}{56(7x+12)}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)}}+c=-links {\frac {dx+12}=7}. {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}


Gerelateerde pagina's

Vragen en antwoorden

V: Wat is antidifferentiatie?


A: Antidifferentiatie (ook wel onbepaalde integratie genoemd) is het proces van het vinden van een bepaalde functie in calculus. Het is het tegenovergestelde van differentiatie en houdt in dat een functie wordt verwerkt tot een andere functie (of klasse van functies) die een antiderivatief wordt genoemd.

V: Hoe wordt het weergegeven?


A: Wanneer antiderivatieven worden weergegeven als losse letters, hebben ze vaak de vorm van hoofdletters, zoals F en G. In het algemeen wordt een antiderivatief geschreven in de vorm ∫f(x) dx.

V: Wat houdt antidifferentiatie in?


A: Antidifferentiatie houdt in dat een functie wordt verwerkt tot een andere functie (of klasse van functies) die een antiderivatief wordt genoemd.

V: Wat is het verschil met integratie?


A: Antidifferentiatie verschilt van integratie doordat er geen grenzen bij betrokken zijn - daarom wordt het onbepaalde integratie genoemd.

V: Wat zijn enkele voorbeelden van hoe antidifferentiatie kan worden uitgedrukt?


A: Voorbeelden van hoe antidifferentiatie kan worden uitgedrukt zijn F en G wanneer ze worden weergegeven als losse letters, of ∫f(x) dx wanneer ze in algemene vorm worden geschreven.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3