Integraal

In calculus is een integraal de ruimte onder een grafiek van een vergelijking (soms gezegd als "de oppervlakte onder een kromme"). Een integraal is het omgekeerde van een afgeleide en is het tegenovergestelde van differentiaalrekening. Een afgeleide is de steilheid (of "helling"), als de snelheid van verandering, van een kromme. Het woord "integraal" kan ook worden gebruikt als bijvoeglijk naamwoord "met betrekking tot gehele getallen".

Het symbool voor integratie, in de calculus, is: $\int _{\,}^{\,}$ ∫. Dit symbool werd voor het eerst gebruikt door Gottfried Wilhelm Leibniz, die het gebruikte als een gestileerde "ſ". (voor summa, latijn voor som) de som van de oppervlakte die door een vergelijking wordt bestreken, zoals y = f(x).

Integralen en derivaten maken deel uit van een tak van de wiskunde die calculus wordt genoemd. Het verband tussen deze twee is zeer belangrijk, en wordt de Fundamentele Stelling van de Berekening genoemd. De stelling zegt dat een integraal kan worden omgekeerd door een afgeleide, vergelijkbaar met hoe een optelling kan worden omgekeerd door een aftrekking.

Integratie helpt wanneer men probeert eenheden te vermenigvuldigen tot een probleem. Bijvoorbeeld, als een probleem met de snelheid, (afstandstijd)... $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , heeft een antwoord nodig met alleen maar afstand, een oplossing is om te integreren met betrekking tot de tijd. Dit betekent vermenigvuldiging in tijd om de tijd in ( afstandstijd ) × tijd te annuleren. $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Dit wordt gedaan door kleine plakjes van de tariefgrafiek bij elkaar op te tellen. De plakjes zijn dicht bij nul in de breedte, maar door ze voor altijd bij elkaar op te tellen worden ze een geheel. Dit wordt een Riemann-sum genoemd.

Door deze plakjes bij elkaar op te tellen ontstaat de vergelijking waarvan de eerste vergelijking de afgeleide is. Integralen zijn als het ware een manier om veel kleine dingen met de hand bij elkaar op te tellen. Het is als sommatie, wat het optellen van 1 + 2 + 3 + 4.... is. + n {\\\playstyle 1+2+3+4.... $1+2+3+4....+n$ . Het verschil met integratie is dat we ook alle decimalen en fracties ertussen moeten optellen.

Een andere keer is integratie nuttig bij het vinden van het volume van een vaste stof. Het kan tweedimensionale (zonder breedte) plakken van het vast lichaam voor altijd samenvoegen tot er een breedte is. Dit betekent dat het object nu drie dimensies heeft: de oorspronkelijke twee en een breedte. Dit geeft het volume van het beschreven driedimensionale object.

Integratie gaat over het vinden van de oppervlakte s, gegeven a, b en y = f(x). De formule voor de integraal van a naar b, hierboven gegrepen, is:
Formule: ∫ a b f ( x ) d x {\playstyle \int \limits _{a}^b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Wat is de integrale (animatie)

Methoden voor integratie

Antiderivaat

Door de fundamentele stelling van calculus is de integraal het antiderivaat.

Als we de functie 2 x afspelen 2x... $2x$ Bijvoorbeeld, en antidifferentiatie, kunnen we zeggen dat een integraal van 2 x speelstijl 2x $2x$ is x 2 x speelstijl x2. $x^{2}$ . We zeggen een integraal, niet het integraal, omdat het antiderivaat van een functie niet uniek is. Bijvoorbeeld, x 2 + 17 {\playstyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ differentieert ook naar 2 x {displaystyle 2x} $2x$ . Daarom moet bij het nemen van het antiderivaat een constante C worden toegevoegd. Dit wordt een onbepaalde integraal genoemd. Dit komt omdat bij het vinden van de afgeleide van een functie de constanten gelijk zijn aan 0, zoals in de functie

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\playstyle f(x)=5x^{2}+9x+15,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 ′displaystyle f'(x)=10x+9+0,′ $f'(x)=10x+9+0\,$ . Let op de 0: we kunnen het niet vinden als we alleen de afgeleide hebben, dus de integraal is

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\playstyle \,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Eenvoudige vergelijkingen

Een eenvoudige vergelijking zoals y = x 2 {\playstyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ kan worden geïntegreerd met betrekking tot x met behulp van de volgende techniek. Om te integreren voeg je 1 toe aan de macht x wordt verhoogd tot, en dan deel je x door de waarde van deze nieuwe macht. Daarom volgt de integratie van een normaalvergelijking deze regel: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\,} {\,}x^{n}dx={frac {x^{n+1}}{n+1}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

De d x {\playstyle dx} $dx$ aan het eind laat zien dat we integreren met betrekking tot x, dat wil zeggen, als x verandert. Dit kan gezien worden als het omgekeerde van differentiatie. Er is echter een constante, C, toegevoegd wanneer je integreert. Dit wordt de constante van integratie genoemd. Dit is nodig omdat het differentiëren van een geheel getal resulteert in nul, dus het integreren van nul (dat op het einde van elk integrand kan worden gezet) levert een geheel getal op, C. De waarde van dit geheel getal zou worden gevonden door gebruik te maken van gegeven voorwaarden.

Vergelijkingen met meer dan één term worden eenvoudigweg geïntegreerd door elke afzonderlijke term te integreren:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\,}^,x x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 x 2 x 3. $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integratie met e en ln

Er zijn bepaalde regels voor het gebruik van e en het natuurlijke logaritme. Het belangrijkste is dat e x {displaystyle e^{x}} $e^{x}$ de integraal van zichzelf is (met de toevoeging van een constante van integratie): ∫ e x d x = e x + C {displaystyle \,} {\,}e^{x}dx=e^x}+C}. $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

De natuurlijke logaritme, ln, is nuttig bij het integreren van vergelijkingen met 1 / x {\\\playstyle 1/x} $1/x$ . Deze kunnen niet geïntegreerd worden met de bovenstaande formule (één optellen bij het vermogen, delen door het vermogen), omdat het optellen van één bij het vermogen 0 oplevert, en een deling door 0 niet mogelijk is. In plaats daarvan is de integraal van 1 / x {displaystyle 1/x} $1/x$ ln x {displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {displaystyle \,} {frac {1}{x}dx=x+C}. $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

In een meer algemene vorm: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\,} {\,} {frac {f'(x)}dx==l {f(x)}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

De twee verticale balken geven een absolute waarde aan; het teken (positief of negatief) van f ( x ) f(x) wordt genegeerd. Dit komt omdat er geen waarde is voor de natuurlijke logaritme van negatieve getallen.

Eigenschappen

Som van de functies

De integraal van een som van functies is de som van de integraal van elke functie. dat wil zeggen,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \\,f(x)+g(x)]\,dx=in de grenzen _{a}^,dx=in de grenzen _{b}f(x)\,dx+in de grenzen _{a}^,b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Het bewijs hiervan is eenvoudig: De definitie van een integraal is een limiet van bedragen. Dus

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) ...in de vorm van een spelletje... $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\\to \to \an5} {\an8} {i=1} {n}f(x_{i})+ {i=1} {n}g(x_{i})+ {i=1} {n}g(x_i})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5}}. $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle = niet beperkt _{a}f(x)\,dx+inclusief _{a}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Merk op dat beide integralen dezelfde grenzen hebben.

Constanten in integratie

Wanneer een constante in een integraal met een functie zit, kan de constante eruit gehaald worden. Verder, als een constante c niet vergezeld gaat van een functie, is de waarde ervan c * x. Dat wil zeggen,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x x {\\\\\, dx=cint \limits _{a}^cf(x)\,dx=cint _{a}^b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ en

Dit kan alleen met een constante.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\\\\\\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Het bewijs wordt weer geleverd door de definitie van een integraal.

Andere

Als a, b en c in orde zijn (d.w.z. na elkaar op de x-as), is de integraal van f(x) van punt a naar punt b plus de integraal van f(x) van punt b naar c gelijk aan de integraal van punt a naar c. Dat wil zeggen,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {displaystyle \int \\, dx+limits _{b}^{c}f(x)\, dx==limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ als ze in orde zijn. (Dit geldt ook als a, b, c niet in orde zijn als we ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {displaystyle \,b}f(x)\,dx=-int \limits _{b}^,dx=-int \,dx} definiëren $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ ).

∫ a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int {a} ^ {a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Dit volgt de fundamentele stelling van calculus (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\\a}d x {b}f(x)\,dx=-int {b}limieten _{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Nogmaals, na de FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\playstyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]}. $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Vragen en antwoorden

V: Wat is een integraal?

A: Een integraal is de ruimte onder een grafiek van een vergelijking, ook bekend als "de oppervlakte onder een kromme". Het is het omgekeerde van een afgeleide en maakt deel uit van een tak van de wiskunde die calculus heet.

V: Hoe ziet het symbool voor integratie eruit?

A: Het symbool voor integratie in calculus ziet er uit als een grote letter "S": ∫