Idempotentie

Schrijver: Leandro Alegsa

17-12-2020

Idempotentie is een eigenschap die een operatie in de wiskunde of informatica kan hebben. Het betekent ruwweg dat de operatie steeds opnieuw kan worden uitgevoerd zonder het resultaat te veranderen.

Het woord idempotentie is gemaakt door Benjamin Pierce omdat hij het concept zag bij het bestuderen van algebra.

De betekenis is anders als we het hebben over verschillende soorten operaties. Het kan ook gebruikt worden om elementen te beschrijven dan een operatie kan nemen:

Voor een eenduidige bewerking (of functie), die we f labelen, zeggen we dat f idempotent is als voor enige x in het domein van f het waar is dat: f(f(x)) = f(x). Bijvoorbeeld, de absolute waarde: abs(abs(x)) = abs(x).

We zeggen dat een element c in het domein van f een idempotent element is als f(f(c)) = f(c). Dit betekent dat f idempotent is als elk element in het domein een idempotent element is.

Voor een binaire operatie, die we labelen met *, zeggen we dat * idempotent is als voor een x die de binaire operatie kan nemen het volgende waar is: x * x = x.

We zeggen dat een element c dat * kan nemen een idempotent element is voor * als c * c = c. Bijvoorbeeld, het getal 1 is een idempotent element voor vermenigvuldiging omdat 1 keer 1 is.

Voorbeelden in de echte wereld

Als een belknop in een lift wordt ingedrukt, gaat de lift naar de verdieping die op de knop staat. Als hij opnieuw wordt ingedrukt dan zal hij hetzelfde doen. Dit betekent dat de bediening van een toets om de lift van verdieping te laten wisselen een idempotente handeling is.

Als we twee potten met dezelfde vloeistof mengen in een nieuwe pot dan hebben we dezelfde vloeistof in die pot. Als we ons alleen zorgen maken over wat voor soort vloeistof er in de pot zit (niet hoeveel) dan is het mengen van vloeistoffen een idempotente binaire operatie.

De wijzerplaat van een klok ziet er hetzelfde uit als er 12 uur zijn verstreken. Voor de werking van "de tijd laten verstrijken" zien we dus dat het laten verstrijken van 12 uur een idempotent element is (dit geldt ook voor alle veelvouden van 12 zoals 24, 36, 48, ...).

Vragen en antwoorden

V: Wat is idempotentie?

A: Idempotentie is een eigenschap die een bewerking in de wiskunde of informatica kan hebben, wat betekent dat de bewerking steeds opnieuw kan worden uitgevoerd zonder dat het resultaat verandert.

V: Wie heeft de term "idempotentie" bedacht?

A: De term "idempotentie" is bedacht door Benjamin Pierce.

V: Hoe verschilt idempotentie voor verschillende soorten bewerkingen?

A: De betekenis van idempotentie verschilt afhankelijk van het soort bewerking dat wordt besproken.

V: Wat is waar om een unaire bewerking als idempotent te beschouwen?

A: Om een unaire bewerking (of functie) als idempotent te beschouwen, moet het waar zijn dat f(f(x)) = f(x) voor elke x in zijn domein.

V: Wat is een voorbeeld van een element dat een unaire bewerking kan aannemen en toch als idempotent kan worden beschouwd?

A: Een voorbeeld van een element dat een unaire bewerking kan ondergaan en toch als idempotent kan worden beschouwd, is de absolute waarde; abs(abs(x)) = abs(x).

V: Wat moet waar zijn om een binaire bewerking als idempotent te beschouwen? Antwoord: Om een binaire bewerking als idempotent te beschouwen, moet het waar zijn dat x * x = x voor elke x die de binaire bewerking kan aannemen.

V: Kunt u een voorbeeld geven van een element dat aan dit criterium voldoet? A: Een voorbeeld van een element dat aan dit criterium voldoet, is het getal 1; 1 maal 1 is 1.