Implicatie (ook bekend als logisch gevolg, impliceert, of Als ... dan) is een logische bewerking. Het is de relatie tussen uitspraken die geldt wanneer de ene logisch "volgt" uit een of meer andere. Meestal wordt een implicatie geschreven als P → Q en gelezen als "als P dan Q" of "P impliceert Q".

Waarheidscondities (materiële implicatie)

Bij de gebruikelijke (materiële) implicatie in proposities is de uitspraak P → Q onwaar precies in het geval dat P waar is en Q onwaar. Met andere woorden: Het geeft alleen onwaar als de eerste term waar is en de tweede term onwaar. In alle andere gevallen wordt de implicatie als waar beschouwd. Dit leidt tot de volgende waarheidstabel:

  • P waar, Q waar → P → Q is waar
  • P waar, Q onwaar → P → Q is onwaar
  • P onwaar, Q waar → P → Q is waar
  • P onwaar, Q onwaar → P → Q is waar

Vacuümwaarheid en "uit het valse volgt alles"

Omdat een implicatie met een onware antecedent automatisch waar is, ontstaan twee vaak besproken eigenschappen:

  • Vacuümwaarheid: een uitspraak als "Als 2+2 = 5, dan vlieg ik" is formeel waar omdat de antecedent onwaar is.
  • Ex falso quodlibet (in de klassieke logica): uit een onware of contradictorische uitgang kan elke conclusie formeel volgen; dat wil zeggen, als je aanneemt dat iets vals is of een contradictie hebt, kun je iedere bewering afleiden.

Deze eigenschappen zijn soms contra-intuïtief in alledaagse of causale taal (waar men verwacht dat een oorzaak met een gevolg samenhangt), maar ze zijn consequent en handig in formele bewijzen en wiskundige redeneringen.

Belangrijke eigenschappen en regels

  • Equivalentie met disjunctie: P → Q is logisch equivalent met ¬P ∨ Q (niet-P of Q).
  • Contrapositie: P → Q is equivalent met ¬Q → ¬P.
  • Transitiviteit: Als P → Q en Q → R, dan P → R.
  • Modus ponens: Uit P en P → Q volgt Q (belangrijkste geldige afleidingsregel).
  • Modus tollens: Uit ¬Q en P → Q volgt ¬P.
  • Biconditionalen: P ↔ Q betekent (P → Q) en (Q → P) tegelijk; vaak gelezen als "P precies dan als Q".

Voorbeelden

  • Alledaags: "Als het regent, dan wordt de straat nat." (P = het regent; Q = de straat is nat.)
  • Wiskundig: "Als n even is, dan is n^2 even." (P = n is even; Q = n^2 is even.)
  • Vacuümvoorbeeld: "Als 2+2=5, dan is Parijs in Frankrijk." Formeel waar omdat de antecedent onwaar is.
  • Contra-intuïtief in causaliteit: materiële implicatie vereist geen oorzaak-gevolgrelatie; P → Q betekent alleen dat Q volgt in waarheidstermijn van P, niet dat P Q veroorzaakt.

Varianten en alternatieven

Naast de materiële implicatie bestaan er strengere of andere vormen van implicatie, bijvoorbeeld:

  • Strikte implicatie (in modale logica): houdt rekening met noodzakelijkheid — "het is noodzakelijk dat als P dan Q".
  • Relevantie-logica: probeert een relevantere relatie tussen antecedent en consequent af te dwingen zodat 'iets belangrijks' gemeen moet zijn.

In de praktijk (met name in wiskunde en formele logica) is de materiële implicatie P → Q echter de standaard en vormt zij de basis voor veel bewijsregels en redeneringen.