Kwantor (logica)

Deze verklaring is oneindig lang:

1 - 2 = 1 + 1, en 2 - 2 = 2 + 2, en 3 - 2 = 3 + 3, ..., en 100 - 2 = 100 + 100, en ..., enz.

Dit is een probleem voor formele talen, omdat een formele uitspraak eindig in lengte moet zijn. Deze problemen kunnen worden vermeden door universele kwantificatie te gebruiken. Dit resulteert in de volgende compacte uitspraak:

Voor elk natuurlijk getal n geldt: n - 2 = n + n.

Op dezelfde manier kunnen we een oneindige reeks uitspraken verkorten, verbonden door of:

1 is gelijk aan 5 + 5, of 2 is gelijk aan 5 + 5, of 3 is gelijk aan 5 + 5, ... , of 100 is gelijk aan 5 + 5, of ..., enz.

die kan worden herschreven met behulp van existentiële kwantificering:

Voor minstens één natuurlijk getal n, is n gelijk aan 5+5.

De twee meest gebruikte kwantoren zijn de universele kwantor en de existentie-kwantor.

De universele kwantor wordt gebruikt om te stellen dat voor elementen in een verzameling, de elementen allemaal aan bepaalde criteria voldoen. Gewoonlijk wordt deze uitspraak "voor alle elementen" afgekort tot een omgekeerde "A", wat "∀" is.

De existentiële kwantor wordt gebruikt om te stellen dat er voor elementen in een verzameling ten minste één element bestaat dat aan bepaalde criteria voldoet. Gewoonlijk wordt deze uitspraak "er bestaat een element" afgekort tot een omgekeerde "E", wat "∃" is.

We kunnen een voorbeeld van een Engelse uitspraak herschrijven met symbolen, predikaten die criteria voorstellen, en kwantoren. Het voorbeeld is "Elk van Peter's vrienden danst graag of gaat graag naar het strand". Zij X de verzameling van alle vrienden van Peter. Zij P(x) het predikaat "x houdt van dansen". Zij Q(x) het predikaat "x gaat graag naar het strand". We kunnen het voorbeeld met formele notatie herschrijven als ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {{\in}X,P(x)\lor Q(x)} . De uitspraak kan gelezen worden als "voor elke x die lid is van X, is P van toepassing op x of Q van toepassing op x".

Er zijn andere manieren om kwantoren te gebruiken in formele taal. Elk van de volgende beweringen hieronder zegt hetzelfde als ∃ x ∈ X , P ( x ) {{exist {x}{in}X,P(x)} :

• ∃ x P {\displaystyle \exists {x}P}
• ( ∃ x ) P {\displaystyle (\exists {x})P}
• ( ∃ x . P ) {\displaystyle (\exist x . P)}
• ∃ x ⋅ P {\a6}
• ( ∃ x : P ) {{{exist x:P}}}
• ∃ x ∈ X P {\an5}exists {x}{\in }X,P}
• ∃ x : X P {{exist \,x{:}X,P}}

Er zijn nog een paar manieren om de universele kwantor voor te stellen:

• ( x ) P {\an (x)\,P}
• ⋀ x P {\displaystyle \bigwedge _{x}P}

Verschillende verklaringen hierboven omvatten expliciet X, de verzameling van elementen waarop de kwantor van toepassing is. Deze verzameling elementen staat ook bekend als het bereik van de kwantificatie, of het universum van het discours. Sommige van de bovenstaande uitspraken bevatten geen dergelijke verzameling. In dat geval moet de verzameling vóór de uitspraak worden gespecificeerd. Bijvoorbeeld, "x is een appel" moet worden vermeld voor ∃ x P ( x ) {{exist {x}P(x)} . In dit geval zeggen we dat ten minste één appel aan het predicaat P voldoet.

Voor het formeel gebruik van kwantoren is het niet nodig het symbool x te gebruiken. In dit artikel is het symbool x gebruikt, maar elk symbool kan worden gebruikt, zoals y. Let er bij het kiezen van symbolen op dat je niet naar twee verschillende dingen verwijst met hetzelfde symbool.

Het is belangrijk om kwantoren in de juiste volgorde te zetten. Dit is een voorbeeldzin in het Engels die laat zien hoe de betekenis verandert met de volgorde:

Voor elk natuurlijk getal n bestaat er een natuurlijk getal s zo dat s = n2.

Deze uitspraak is waar. Ze stelt dat elk natuurlijk getal een kwadraat heeft. Echter, als we de volgorde van de kwantoren omdraaien:

Er bestaat een natuurlijk getal s, zo dat voor elk natuurlijk getal n, s = n2.

Deze bewering is onjuist. Ze beweert dat er één natuurlijk getal s is dat het kwadraat is van elk natuurlijk getal.

In bepaalde omstandigheden verandert het veranderen van de volgorde van de kwantoren de betekenis van de uitspraak niet. Bijvoorbeeld:

Er bestaat een natuurlijk getal x, en er bestaat een natuurlijk getal y zo dat x = y2.

Er zijn ook minder gebruikelijke kwantoren die door wiskundigen worden gebruikt.

Een voorbeeld is de oplossingskwantificeerder. Deze wordt gebruikt om aan te geven welke elementen een bepaalde vergelijking oplossen. De oplossingskwantificator wordt voorgesteld door een § (deelteken). Bijvoorbeeld, de volgende bewering beweert dat de kwadraten van 0, 1 en 2 kleiner zijn dan 4. : [ § n ∈ N n 2 ≤ 4 ] = { 0 , 1 , 2 } links[\in \mathbb {N} \quad n^{2}leq 4 rechts]=links{0,1,2 rechts}

Andere kwantoren zijn:

• Er zijn veel elementen zoals...
• Er zijn maar weinig elementen die...
• Er zijn oneindig veel elementen zodanig dat...
• Voor alle elementen behalve eindig veel... (soms uitgedrukt als "voor bijna alle elementen...").
• Er zijn ontelbaar veel elementen zodanig dat...
• Voor alle elementen, behalve telbaar veel...

Termlogica werd ontwikkeld door Aristoteles. Het was een vroege vorm van logica, en omvatte kwantificering. Het gebruik van kwantificering stond dichter bij dat van natuurlijke taal. Dit betekende dat uitspraken in de termlogica met kwantoren minder geschikt waren voor formele analyse. Termlogica omvatte in de 4e eeuw v. Chr. kwantoren voor Alles, Enkele en Geen (geen).

In 1879 creëerde Gottlob Frege een notatie voor universele kwantificering. Anders dan tegenwoordig zou hij een universele kwantificatie weergeven door een variabele over een kuiltje in een verder rechte lijn te schrijven. Frege creëerde geen notatie voor existentiële kwantificering. In plaats daarvan combineerde hij de universele kwantificering met een aantal ontkenningen om een equivalente uitspraak te maken. Frege's gebruik van kwantificering was niet algemeen bekend tot Bertrand Russell's 1903 Principles of Mathematics.

In 1885 creëerden Charles Sanders Peirce en zijn student Oscar Howard Mitchell ook een notatie voor universele en existentiële kwantoren. Zij schreven Πx en Σx waar wij nu ∀x en ∃x schrijven. Pierce's notatie werd door veel wiskundigen gebruikt tot in de jaren 1950.

In 1897 creëerden William Ernest Johnson en Giuseppe Peano een andere notatie voor universele en existentiële kwantificering. Zij werden beïnvloed door Pierce's eerdere kwantificeringsnotatie. Johnson en Peano gebruikten de eenvoudige (x) voor universele kwantificering, en ∃x voor existentiële kwantificering. Peano's invloed op de wiskunde verspreidde deze notatie over Europa.

In 1935 creëerde Gerhard Gentzen het ∀-symbool voor universele kwantificering. Het werd pas in de jaren 1960 op grote schaal gebruikt.

• Logica